Resuelve la siguiente ecuación $$\left[ x\right] +\left[ \dfrac{9}{x}\right]=6$$ la ecuación obvia tener una raíz $x=3$ . Pero, ¿cómo resolver otras raíces?
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justartem
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Obviamente $x>0$ supongamos que $\lfloor x \rfloor =k$ (claramente $k$ debe estar entre $0$ y $5$ ), las soluciones son $\lfloor \frac{9}{x} \rfloor = 6-k\iff 6-k\leq \frac{9}{x} < 6-k+1\iff \frac{9}{6-k+1}< x \leq \frac{9}{6-k}$ .
Por tanto, el conjunto de soluciones es $\bigcup\limits_{k=0}^{5}( (\frac{9}{6-k+1},\frac{9}{6-k}]\cap [k,k+1))$ .
Ahora se trata de un cálculo sencillo y rápido.
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para $x\le\lfloor{\frac{9}{6}}\rfloor$ no hay respuesta ya que $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor$ es como mínimo $6$ y cuando $\lfloor{x}\rfloor$ se hace cero, el otro término es $7$ .
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para $\frac{9}{6}<x \le \frac{9}{5}$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=5$ y $\lfloor{x}\rfloor=1$ de ahí que toda esta gama sea una respuesta válida.
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para $\frac{9}{5}<x<2$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=4$ y $\lfloor{x}\rfloor=1$ por lo que no hay respuesta en este rango.
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para $2\le x \le \frac{9}{4}$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=4$ y $\lfloor{x}\rfloor=2$ de ahí que toda esta gama sea una respuesta válida.
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para $\frac{9}{4}<x<3$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=3$ y $\lfloor{x}\rfloor=2$ por lo que no hay respuesta en este rango.
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para $x=3$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{3}}\rfloor=3$ y es una respuesta.
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para $3<x<4$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=2$ y $\lfloor{x}\rfloor=3$ por lo que no hay respuesta en este rango.
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para $4\le x \le \frac{9}{2}$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=2$ y $\lfloor{x}\rfloor=4$ de ahí que toda esta gama sea una respuesta válida.
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para $\frac{9}{2}<x<5$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=1$ y $\lfloor{x}\rfloor=4$ por lo que no hay respuesta en este rango.
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para $5\le x <6$ tenemos $\lfloor{\frac{9}{x}}\rfloor=1$ y $\lfloor{x}\rfloor=5$ de ahí que toda esta gama sea una respuesta válida.
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para $x\ge 6$ tampoco hay respuesta.
G Tony Jacobs
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En primer lugar, está claro que $x>0$ porque para $x$ ambos términos de la izquierda son negativos. Por lo tanto, ambos $\lfloor x\rfloor$ y $\left\lfloor\frac9x\right\rfloor$ son enteros no negativos, por lo que el par $\left(\lfloor x\rfloor,\left\lfloor\frac9x\right\rfloor\right)$ sólo puede ser $(0,6)$ , $(1,5)$ , $(2,4)$ , $(3,3)$ , $(4,2)$ , $(5,1)$ o $(6,0)$ . Cada par puede tratarse como un par de inecuaciones. Por ejemplo:
$\left(\lfloor x\rfloor,\left\lfloor\frac9x\right\rfloor\right)=(1,5)$
es equivalente a:
$1\leq x < 2$ y $5\leq \frac9x < 6$ .
La segunda desigualdad se convierte en $\frac16 < \frac{x}{9} \leq \frac15$ o
$\frac96 < x \leq \frac95$ . La intersección de este intervalo con el intervalo $[1,2)$ es el intervalo $(1.5, 1.8]$ así que eso es parte de tu conjunto de soluciones. Si repites este proceso para cada uno de los siete casos, obtendrás todas las soluciones.
