Reciente incorporación: Inspirado por los comentarios de DimaPasechnik y Matt F. sobre las descomposiciones de sumas de cuadrados, probé la siguiente idea muy natural: Tratar de encontrar $f$ de la forma $f(x,y)=A(x,y)^2+B(x,y)^2$ donde $A$ y $B$ son polinomios cuadráticos relativamente primos cuyos conjuntos cero se intersecan en $4$ puntos, que por supuesto son mínimos locales, e intentar obtener un quinto mínimo local. Por un desplazamiento podemos buscarlo en $(0,0)$ . Y, de hecho, hay ejemplos que se pueden comprobar instantáneamente a mano: Una posibilidad es \begin{align} A &= x^2 - y - 6\\ B &= 8x^2 - y^2 - 3y + 2. \end{align} Las curvas $A=0$ y $B=0$ se cruzan en los cuatro puntos \begin{equation} (\pm1, -5)\text{ and } (\pm4, 10). \end{equation} En \begin{equation} f(x, y) = 40 + 20x^2 + 6y^2 + \text{terms of degree }\ge3, \end{equation} vemos que $(0, 0)$ es un quinto mínimo local.
Respuesta original: El cuártico \begin{equation} f = 3x^4 - 5x^2y^2 + 5y^4 + 20x^2y - 32y^3 + x^2 + 2y^2, \end{equation} que está incluso en $x$ tiene $5$ mínimos locales aislados en \begin{equation} (0, 0), (\pm2, -1), (\pm2, 5). \end{equation} Para demostrar la afirmación, se comprueba que las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ y que el hessiano es definido positivo en estos puntos, siendo esto último equivalente a que las trazas y los determinantes sean positivos.
Si se realiza el cálculo a mano, la simetría $f(x,y)=f(-x,y)$ sólo requiere comprobar $3$ puntos. Alternativamente, el siguiente código Sage verifica el ejemplo:
R.<x, y> = QQ[]
f = 3*x^4-5*x^2*y^2+5*y^4+20*x^2*y-32*y^3+x^2+2*y^2
fx, fy = f.derivative(x), f.derivative(y)
fxx = fx.derivative(x)
fxy = fx.derivative(y)
fyy = fy.derivative(y)
tra, det = fxx+fyy, fxx*fyy-fxy^2
cps = ideal([fx, fy]).variety()
minima = [p for p in cps if tra.subs(p) > 0 and det.subs(p) > 0]
print(len(minima) == 5)
Observación 1: Como señala Jap88 en los comentarios (véanse también sus bonitas visualizaciones en https://math.stackexchange.com/questions/4620663 ), los ejemplos anteriores son difíciles de visualizar. Lo mismo ocurre con éste. La razón es que algunos de los puntos de los sillines tienden a estar muy cerca de los mínimos. Las líneas roja y azul son las curvas dadas por $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=0$ y los puntos verdes son los mínimos. Como la primera imagen no muestra bien la situación alrededor de $(0,0)$ el segundo se acerca a esta zona: ![]()
Observación 2: Otro ejemplo bastante breve es \begin{equation} f = x^4 - 3x^2y^2 + 3y^4 - 2x^2y + 3y^3 + x^2 - 2y^2. \end{equation} Aquí, el $5$ Los mínimos locales son irracionales, por lo que la verificación algebraica exacta a mano es un poco más complicada. O, si se vuelve a confiar en Sage, basta con sustituir las dos primeras líneas del código anterior por
R.<x, y> = AA[]
f = x^4 - 3*x^2*y^2 + 3*y^4 - 2*x^2*y + 3*y^3 + x^2 - 2*y^2
Aquí AA es el campo (exacto) de los números algebraicos reales. La imagen (notación como arriba) es ![enter image description here]()
Observación 3: Conjetura 5.4 en este artículo de Durfee et.al predice que un cuártico tiene como máximo $4$ mínimos locales aislados. Así que esto es un contraejemplo.
Observación 4 : Teorema 3.1.6. del documento Puntos críticos de polinomios reales ... de Shustin parece afirmar que $5$ mínimos son posibles. Sin embargo, la "prueba" dada en la Sección 3.13 dice simplemente "Supongamos que $d \le 4$ . Entonces todas las distribuciones del índice excepto [...] pueden realizarse fácilmente como se ha explicado anteriormente". No sé a qué se refiere el autor con "arriba", ya que todos los casos anteriores manejan grados $d\ge5$ .
