¿En qué sentido es la acción adecuada/eficaz $\Gamma[\phi_c]$ una acción clásica corregida cuánticamente $S[\phi]$ ?

Question

Hay una diferencia entre el campo clásico $\phi(x)$ (que aparece en la acción clásica $S[\phi]$ ) y la cantidad $\phi_c$ definido como $$\phi_c(x)\equiv\langle 0|\hat{\phi}(x)|0\rangle_J$$ que aparece en la acción efectiva. Aunque $\phi_c(x)$ se denomina "campo clásico", no veo por qué $\phi(x)$ y $\phi_c$ debería ser el mismo.

¿En qué sentido, por tanto, la acción efectiva $\Gamma[\phi_c]$ una acción clásica corregida cuánticamente $S[\phi]$ ? ¿Cómo podemos comparar los funcionales de dos objetos diferentes (a saber, $\phi(x)$ y $\phi_c(x)$ ) y afirmar que $\Gamma[\phi_c]$ es una corrección sobre $S[\phi]$ ?

Pido disculpas por la falta de claridad de la pregunta y la confusión que espero aclarar.

Answer 1

Ya hay una buena respuesta de Solenodon Paradoxus. Aquí proporcionamos una prueba formal (mediante la aproximación de fase estacionaria/WKB).

1. Para fijar la notación, definimos el 1PI acción eficaz/adecuada $$ \Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k, \tag{1}$$ como el Transformación de Legendre de la función generadora $W_c[J]$ para diagramas conectados. Suponemos que la transformación de Legendre es regular, es decir, que la fórmula $$\begin{align} \phi_{\rm cl}^k~=~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} \cr \Updownarrow~& \cr J_k~=~&-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k}\end{align} \tag{2}$$ es invertible. Aquí $J_k$ son las fuentes y $\phi_{\rm cl}^k$ son los llamados campos clásicos. (Esta última terminología es un poco errónea, ya que $\phi_{\rm cl}^k[J]$ en función de las fuentes $J_{\ell}$ podría depender explícitamente de $\hbar$ . Véase también el apartado 8).

2. La función de partición/integral de trayectoria es $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar} W_c[J]\right\}\cr ~=~&Z[J]\cr ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)\right\} . \end{align}\tag{3}$$ La primera igualdad de la ec. (3) es la teorema de los conglomerados vinculados cf. por ejemplo este Correo de Phys.SE.

3. En este punto es habitual mencionar algunos hechos elementales. La función 1-pt/campo cuántico promediado es por definición $$\begin{align} \langle \phi^k \rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~=~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta }{\delta J_k}\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i}\frac{\delta Z[J]}{\delta J_k}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~\stackrel{(2)}{=}~\phi_{\rm cl}^k. \end{align} \tag{4}$$

4. La función 2-pt es por definición $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}}~\cr \stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J_k} \left(Z[J]\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_{\ell}}\right)\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\frac{\hbar}{i} \frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}} + \langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J,\end{align} \tag{5}$$ es decir, la función 2-pt conectada más un trozo desconectado.

5. Ahora volvamos a la pregunta del OP. Por inversa formal Transformación de Fourier de la integral de trayectoria (3), obtenemos $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{J}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k \delta J_{\ell}}\right)^{-1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \cr ~\stackrel{(8)}{=}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{6}$$ en el fase estacionaria/aproximación WKB $J_k=J_k[\phi_{\rm cl}]+\sqrt{\hbar}\eta_k$ . En la última igualdad de la ec. (6), utilizamos que $$\begin{align}\delta^k_{\ell} ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_m} \frac{\delta J^m[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~& -\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k\delta J_m} \frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}},\end{align} \tag{7}$$ es decir

   $$\begin{align}&\text{The 2-pt functions }\cr & \frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_m} \text{ and } \frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr& \text{ are inverses of each other.} \end{align}\tag{8}$$

6. Supondremos que la acción $S$ no tiene $\hbar$ -dependencia. La acción efectiva $\Gamma[\phi_{\rm cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\Gamma_n[\phi_{\rm cl}]$ se convierte en $\hbar$ /expansión en bucle . La ecuación (6) muestra que la acción efectiva $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(6)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{9} \cr ~\stackrel{(9)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{10}\end{align}$$ está de acuerdo con la acción $S$ hasta correcciones cuánticas. En la ec. (10) hemos definido el Hessian $$ H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}. \tag{11} $$ (El factor de raíz cuadrada de la ec. (6) sólo contribuye a partir de un bucle).

   En otras palabras, deducimos que a orden de zeroth en $\hbar$ /diagramas de árbol en la acción efectiva

   $$\text{Tree-level}:~~ \Gamma_0[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(9)}{=}~S[\phi_{\rm cl}] \tag{12}$$

   es igual a la acción $S$ sí mismo. Del mismo modo, deducimos que a primer orden en $\hbar$ /diagramas de un bucle en la acción efectiva

   $$\text{1-loop}:~~ \Gamma_1[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(10)}{=}~\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \right) \tag{13}$$

   es igual a un determinante funcional del hessiano de la acción $S$ . Las ecuaciones (10), (12) y (13) responden a la pregunta de la OP. Véase también este post relacionado de Phys.SE.

7. En este punto conviene mencionar algunos hechos elementales. Demos fuentes fijas $J_k$ . En $^1$ $$\begin{align} \frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} ~\stackrel{(2)}{=}&-J_k\cr ~\stackrel{\text{EL eqs.}}{\approx}& \frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi^k} \cr ~=:&E_k[\phi_0], \end{align} \tag{14} $$ deducimos que la llamada solución clásica $\phi_{\rm cl}^k$ y la solución de Euler-Lagrange (EL) $\phi_0^k$ de acuerdo $^1$ $$ \phi_{\rm cl}^k[J]~\stackrel{(9)+(14)}{\approx}~\phi_0^k[J] +{\cal O}(\hbar) \tag{15} $$ hasta correcciones cuánticas. La Ec. (15) justifica la práctica de denominar $\phi_{\rm cl}^k$ el campo clásico. (Suponemos que cada solución de la ec. (14) es única, debido a las condiciones de contorno pertinentes. Hemos excluido los instantones por simplicidad).

   Por el contrario, si se nos da una $\phi_{\rm cl}$ podemos considerar la fuente desplazada correspondiente $$\begin{align} J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]~:=~&E_k[\phi_{\rm cl}]+J_k[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} -\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}}\cr ~\stackrel{(12)}{=}~&-\frac{\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} ~=~{\cal O}(\hbar). \end{align}\tag{16} $$

8. Alternativamente, desde el método de campo de fondo $$ \underbrace{\phi^k}_{\text{quan. field}} ~=~\overbrace{\underbrace{\phi^k_{\rm cl}}_{\text{clas. field}}}^{\text{backgr. field}}+\underbrace{\eta^k}_{\text{fluctuation}}, \tag{17}$$ la acción efectiva (1) se convierte en $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}& \int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi] +J_k[\phi_{\rm cl}](\phi^k-\phi^k_{\rm cl}) \right) \right\} \cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi_{\rm cl}+\eta] +J_k[\phi_{\rm cl}] \eta^k \right)\right\} \cr ~=~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left( S[\phi_{\rm cl}] +\underbrace{\left(E_k[\phi_{\rm cl}] +J_k[\phi_{\rm cl}]\right)}_{={\cal O}(\hbar)} \eta^k +\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \eta^{\ell} +{\cal O}(\eta^3) \right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}] \right)^{-1/2}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_{\rm cl}] -\frac{1}{2}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right)\right\} \cr ~\stackrel{(2)+(15)}{=}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{18}$$ en la aproximación fase estacionaria/WKB $$\eta^k~=~ -(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] + \underbrace{{\cal O}(\sqrt{\hbar})}_{\text{fluctuation}}.\tag{19}$$ La ec. (18) conduce de nuevo a la buscada ec. (10).

9. En términos más generales, si separamos la acción $$ S[\phi]~=~ \underbrace{E_k[\phi_{\rm cl}]\eta^k}_{\text{linear part}} + \underbrace{\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\eta^{\ell}}_{\text{quadratic part}} +\underbrace{S_{\neq 12}[\phi_{\rm cl},\eta]}_{\text{the rest}}, \tag{20}$$ entonces la acción efectiva se lee a todas las órdenes $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2} \cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 12}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\} \cr &\exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\end{align}\tag{21}$$ tras una integración gaussiana. De ello se deduce que $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}&\Gamma_{>1}[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(12)+(13)+(21)}{=}& \ln\left(\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 012}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\}\right. \cr &\left. \exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\right)\end{align}\tag{22}$$ es la suma de todos los diagramas conexos formados por propagadores $-(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]$ ; fuentes externas desplazadas $J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]$ y $\eta$ -vertices con $\geq 3$ $\eta$ -piernas.

   Tras sustituir $J^{>0}_k[\phi_{\rm cl}]=-\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]/\delta \phi_{\rm cl}^k$ en el lado derecho de la ec. (22) mediante la relación (16), entonces se puede demostrar que la ec. (22) se convierte en una relación de recursividad de todo orden para la acción efectiva $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ .

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$^1$ En $\approx$ significa aquí igualdad modulo el Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) .

Answer 2

Queremos calcular la integral de trayectoria $$ Z = \int \mathcal{D}{\phi}\, e^{i \hbar^{-1} S[\phi]} $$ que codifica una amplitud de transición entre los estados cuánticos inicial y final.

Si tuviéramos la acción efectiva $\Gamma[\phi]$ a nuestra disposición, habríamos calculado lo mismo resolviendo para $$ \phi_c(x):\quad \left. \frac{\delta \Gamma}{\delta \phi} \right|_{\phi=\phi_c} = 0 $$ y volver a enchufarlo en la acción efectiva: $$ Z = e^{i \hbar^{-1} \Gamma[\phi_c]}. $$

Esta es la definición de $\Gamma$ .

Obsérvese que en este punto no se requieren integrales de trayectoria. Las condiciones de contorno están implícitamente presentes a lo largo de esta respuesta, codificando los estados exactos entre los que se produce la transición cuántica. Su existencia garantiza que sólo hay una solución $\phi_c$ .

Ahora, ¿por qué $\phi_c$ se llama clásico resuelve el m.o.e. dado por la acción $\Gamma$ .

Piensa en $\Gamma$ como de un objeto en el que todas las propiedades a corta escala de la medida de integración $\mathcal{D}\phi$ (incluidas las cuestiones relacionadas con la renormalización) ya se tienen en cuenta. Basta con resolver la e.o.m. e introducir la solución en la exponencial y ya está: aquí tienes tu amplitud de transición.

Dicho esto, $\Gamma$ no es clásica en el sentido de que sigue describiendo la dinámica de una teoría cuántica. Sólo que de forma diferente. Manipulaciones algebraicas simples en lugar de integrales de trayectoria.

Por último, obsérvese cómo si la integral de la trayectoria es gaussiana, $$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \text{const},$$ donde $\text{const}$ tiene en cuenta la constante de normalización de la integral de trayectoria. No hay correcciones cuánticas.

En la teoría clásica, sin embargo, resolvemos la e.o.m. w.r.t. $\phi = \phi_c$ para $S[\phi]$ no $\Gamma[\phi]$ . Enchufándolo de nuevo en $S[\phi_c]$ nos da la función de Hamilton. Cuando la integral de trayectoria es gaussiana, no importa si usamos $S$ o $\Gamma$ y exponenciando la función de Hamilton se obtiene la amplitud de transición. Sin embargo, si estamos tratando con una teoría interactiva, la forma correcta de hacerlo sería utilizar $\Gamma$ en lugar de $S$ . En este sentido, $\Gamma$ es la versión corregida cuánticamente de $S$ .

Y sí, siempre es cierto (se puede demostrar utilizando la fórmula de aproximación del punto de silla de montar) que $$ \Gamma[\phi] = S[\phi] + \mathcal{O}(\hbar). $$

¿Por qué no utilizar $\Gamma[\phi]$ à defina la teoría cuántica y olvidarse de $S[\phi]$ ¿Todos juntos? Porque $\Gamma$ es no local y contiene infinidad de parámetros ajustables . Se pueden determinar a partir de la forma de $S[\phi]$ por, bueno, cuantización. Por eso es $S[\phi]$ que define la teoría, no $\Gamma$ . $\Gamma$ debe calcularse mediante integrales de trayectoria.

ACTUALIZACIÓN: También es importante entender que en la QFT ingenua $\Gamma$ contiene divergencias, mientras que $S$ no lo hace. Sin embargo, la situación real es la contraria. Es $S$ que contiene divergencias (acoplamientos desnudos divergentes), que se anulan frente a las divergencias procedentes de la integral de trayectoria, lo que da lugar a una finita (es decir, renormalizada) $\Gamma$ . Que $\Gamma$ debe ser finito es evidente por la forma en que lo utilizamos para calcular las propiedades físicas: sólo resolvemos el e.o.m. y volvemos a introducir el resultado en $\Gamma$ .

En realidad, todo el sentido de la renormalización es hacer que $\Gamma$ finito y bien definido, ajustando sólo un número finito de acoplamientos divergentes en la acción desnuda $S$ .

Answer 3

Obviamente, $\phi(x)$ es diferente de $\phi_c(x)$ . El primero es un campo clásico de una teoría de campos clásica, el segundo es sólo una cantidad que aparece en la transformada de Legendre de la función generadora de las funciones de Green conectadas. Sucede que para acciones clásicas que pueden tratarse como perturbaciones en torno a acciones cuadráticas, las ecuaciones satisfechas por $\phi_c(x)$ coinciden con las de $\phi(x)$ en la teoría clásica de campos, en el límite $\hbar\rightarrow 0$ .

Salvo por el sugerente nombre, tampoco existe correspondencia cuántico-clásica: $\phi_c(x)$ no es el valor esperado del campo $\hat{\phi}(x)$ en presencia de una fuente externa (expresada en términos de probabilidades adecuadamente definidas). No tiene sentido como observable cuasiclásico.

Además, la acción efectiva no es local y, por tanto, no genera ninguna dinámica efectiva cuasiclásica. La acción efectiva es sólo un generador de funciones de Green relevantes para el cálculo de los elementos de la matriz S.