¿Qué significa $\mathscr F$ siendo álgebra en medida definitoria?

Question

Sé que si $S$ es un conjunto no vacío y $\mathscr F$ es un álgebra sobre $S$ entonces una función $\mu$ en $\mathscr F$ se llama medida si

(i) $\mu(A)\in [0, \infty]$ para todos $A \in\mathscr F$ ,

(ii) $\mu(\emptyset) = 0$ ,

(iii) $\mu\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$ donde $\{A_n\}$ es una colección disjunta de miembros de $\mathscr F$ con $\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \in\mathscr F$ .

Mi pregunta es cuál es el significado de $\mathscr F$ siendo álgebra? ¿Podemos considerar que es semiálgebra?

(PS - No sé cómo hacer uso de símbolos matemáticos aquí, por favor, edite la pregunta en consecuencia)

Answer 1

Normalmente, se utiliza "medida" para hablar de una medida sobre un $\sigma$ -álgebra. Sin embargo, algunas personas sólo utilizan álgebras, otras se conforman con semianillos. Y hay quien se contenta con llamar "medida" a lo que muchos llamarían un medida exterior .

¿Por qué le gustan a la gente los semianillos?

Mira $1 \times 1$ cuadrados y piensas: esto tiene el área de un $1 \times 1$ cuadrado. Entonces, miras los rectángulos y piensas... bueno creo que sé el área de este $a \times b$ rectángulo. Debe ser $ab$ . Enhorabuena, has definido el área de un semianillo o de una semialgebra, si permites rectángulos infinitos.

Los semianillos surgen de forma natural, en mi opinión, debido a los rectángulos (o cilindros).

¿Por qué le gustan las álgebras a la gente?

Entonces, te das cuenta de que puedes medir fácilmente el área de uniones finitas de rectángulos disjuntos. Ahora, has definido el área de un anillo... o de un álgebra, si permites rectángulos infinitos.

En mi opinión, a la gente le gustan las álgebras porque la definición es más sencilla. Y como extender una $\sigma$ -función aditiva sobre una semi-álgebra al álgebra generada es muy simple, algunas personas tienden (en mi opinión) a favorecer las "álgebras".

¿Por qué a la gente le gusta $\sigma$ -¿álgebras?

¿No sería estupendo poder calcular el área de un círculo? O, tal vez, el área "bajo la gráfica" de una función...

Pero un círculo no está en el álgebra generada por los rectángulos. Probablemente quieras tomar límites de conjuntos. Puedes aproximar un círculo usando cuadrados. Usando estas aproximaciones de forma consistente, ahora puedes medir el área de círculos. El círculo está en el $\sigma$ -álgebra.

Al final, lo que realmente quieres (en mi opinión), es una medida sobre un $\sigma$ -álgebra. Existe un teorema (teorema de extensión de Carathéodory) que afirma que siempre se puede extender una "medida" definida sobre xxx a una "medida completa" sobre la $\sigma$ =álgebra generada por xxx.

Así pues, la cuestión se resume en si prefieres extenderlo a partir de un álgebra xxx o a partir de un álgebra xxx.