Es la distribución conjunta de $X$ y " $Y|Z$ " igual que la distribución de $(X, Y)|Z$

Question

1. Variables aleatorias dadas $X, Y, Z$ es distribución conjunta de $X$ y " $Y|Z$ " igual que la distribución de $(X, Y)|Z$ ?
2. Variables aleatorias dadas $X_1, X_2, Y_1, Y_2$ es la distribución conjunta de " $X_1 | X_2$ " y " $Y_1|Y_2$ " igual que distribución de $(X_1, Y_1) | (X_2, Y_2)$ ?
3. Para dos vectores aleatorios independientes $X$ a $Y$ y dos subvectores cualesquiera $X_1$ y $X_2$ de $X$ y dos [ ] $Y_1$ y $Y_2$ de $Y$ los vectores aleatorios condicionales " $X_1|X_2$ " y " $Y_1|Y_2$ "¿también ser independiente?

¿Por qué? Gracias y saludos.

Answer 1

(1) No si una variable aleatoria es $X$ y el otro es $Y|Z$ . Tomemos por ejemplo seis casos igualmente probables para $(X,Y,Z)$ :

(1, 1, 2), (2, 1, 1), (3, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 3, 1), (3, 3, 2)

Entonces $Y|Z$ es 1, 2 o 3 con la misma probabilidad, no importa lo que $Z$ es: son independientes entre sí. Por lo tanto, la distribución conjunta de $X$ y de $Y|Z$ son los mismos seis pares que la distribución conjunta de $X$ y de $Y$ . Pero $(X,Y)$ no es independiente de $Z$ ya que si $Z=1$ entonces $X$ no es $2$ .

(2) No. No si $X_1|X_2$ no es independiente de $Y_2$ o $Y_1|Y_2$ no es independiente de $X_2$

(3) Si entiendo su uso de vectores y subvectores entonces sí