Subgrupo de un grupo finito

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, y sea $S$ sea un subconjunto no vacío de $G$ . Supongamos que $S$ es cerrado con respecto a la multiplicación. Demostrar que $S$ es un subgrupo de $G$ . (Pista: Queda por demostrar que $S$ contiene $e$ y es cerrado con respecto a los inversos. Sea $S = \{a_{1},...,a_{n} \}.$ Si $a_{i} \in S$ consideremos los distintos elementos $a_{i}a_{1}, a_{i}a_{2},...a_{i}a_{n}$ .)

Preguntas preliminares: ¿Puedo suponer que cada elemento de $S$ ¿único? Si cada elemento es único, ¿implica eso que los productos $a_{i}a_{1}, a_{i}a_{2},...a_{i}a_{n}$ ¿son distintos? Si no puedo suponer que cada elemento no es único, ¿por qué debo considerar únicamente los productos distintos?

(i). Demuéstrese que $S$ contiene $e$ : Porque sabemos $S$ es cerrado bajo multiplicación, sabemos que cada elemento en $S$ puede escribirse como un producto de elementos de $S$ . El libro afirma que puedo escribir $a_{1} = a_{1}a_{k}$ para algunos $k$ . Realmente no entiendo por qué puedo hacer tal afirmación. ¿Explica lo siguiente por qué? Si $a_{1} \in S$ uno de los siguientes productos $a_{1}a_{1}, a_{1}a_{2}, ... , a_{1}a_{n}$ sea igual a un elemento de $S$ y, finalmente, cada producto se emparejará con cada elemento de $S$ ? ¿Cómo sabemos que $a_{1} \neq a_{3}a_{2}$ ?

Porque si asumo $a_{1} = a_{1}a_{k}$ entonces $a_{1}^{-1}a_{1} = a_{1}^{-1}a_{1}a_{k}$ muestra que $e = a_{k}$ . Y todavía puedo hacer uso de $a_{1}^{-1}$ porque si $a_{1} \in S$ entonces $a_{1} \in G$ y $a_{1}^{-1} \in G$ desde $G$ es un grupo. ¿Es correcto este razonamiento?

(ii). Demostrar que todo elemento $a_{p} \in S$ tiene un inverso $a_{p}^{-1} \in S$ : Sea $a_{p} \in S$ podemos escribir $a_{p} = a_{1}a_{q}$ para algunos $q$ . Podemos reordenar y obtener $a_{q} = a_{1}^{-1}a_{p} = (a_{p}^{-1}a_{1})^{-1}$ . En este punto he demostrado que $(a_{p}^{-1}a_{1})^{-1} \in S$ pero ahora llevo un tiempo atascado. ¿Podría darme una pista?

Gracias de antemano.

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Actualización

(i). Demuéstrese que $S$ contiene $e$ : Usando la pista, ``Si $a_{i} \in S$ consideremos los distintos elementos $a_{i}a_{1}, a_{i}a_{2},...a_{i}a_{n}$ si $a_{1} \in S$ entonces consideramos $a_{1}a_{1}, a_{1}a_{2},...a_{1}a_{n}$ . Entonces podemos escribir lo siguiente: \begin{align*} a_{1} &= a_{1}a_{k} \newline a_{1}^{-1}a_{1} &= a_{1}^{-1}a_{1}a_{k} \newline e &= ea_{k} \newline e &= a_{k} \end{align*}

(ii). Demostrar que todo elemento $a_{p} \in S$ tiene un inverso $a_{p}^{-1} \in S$ : Demostrar que $e \in S$ podemos escribir $a_{1}a_{p} = e$ para $a_{1}, a_{p} \in S$ \begin{align*} a_{1}a_{p} &= e\newline a_{1}a_{p}a_{p}^{-1} &= ea_{p}^{-1}\newline a_{1} &= a_{p}^{-1} \end{align*}

Answer 1

La respuesta anterior es perfectamente buena, pero he aquí una manera más fácil (en mi opinión) de proceder. Digamos que quieres demostrar que $e \in S$ . Desde $S$ es cerrado bajo multiplicación, en particular $a_1^2 \in S$ . Y $a_1^3, a_1^4$ etc. también están en $S$ . Dado que $G$ es un grupo finito, ¿qué te dice esto?

Esta línea de razonamiento también te dirá cómo encontrar los inversos.

Answer 2

Si se pregunta si se puede suponer que distintos elementos de $S$ son distintos... sí. En general, no se puede suponer que todos los elementos de un familia son distintos, porque una familia es en realidad una función (con dominio el conjunto de índices) y nos estamos centrando en las imágenes.

Eso significa que puede empezar diciendo "Vamos a $S=\{a_1,\ldots,a_m\}$ con $a_i\neq a_j$ si $i\neq j$ " sin ningún problema: basta con eliminar todas las repeticiones.

Para los grupos, usted sabe que $xy=xz$ implica $y=z$ . Por lo tanto, si sabe que el $a_i$ son distintos por pares (que es la forma elegante de decir que son todos diferentes; decir que "cada elemento es único" es un poco difícil de interpretar), entonces se deduce que para un valor fijo de $j$ , $a_ja_1,\ldots,a_ja_m$ son distintos por pares.

(i) Consideremos el mapa (teórico de conjuntos) $S\to S$ dada por la "multiplicación a la izquierda por $a_1$ ". Es decir, el mapa que envía $s\in S$ à $a_1s$ . Como el mapa es unívoco y el conjunto es finito, el mapa también es onto. Por tanto, existe $s\in S$ tal que $a_1s = a_1$ . Sí, de hecho también tendremos que $a_1$ puede expresarse como $a_2a_j$ para algunos $j$ (con el mismo argumento), pero eso es irrelevante aquí. Recuerda que los elementos de un grupo pueden expresarse como productos de muchas formas distintas. De hecho, dado cualquier $x$ y cualquier $y$ en un grupo $G$ siempre se puede encontrar un $z$ tal que $x=yz$ .

Sí, aún puede anularlo $a_1$ de $a_1=a_1a_j$ ; que la igualdad se mantiene en $G$ para que pueda manipularlo "en $G$ ". Al igual que, en los enteros positivos, se puede pasar de $2k = 2$ à $k=1$ aunque $\frac{1}{2}$ no está en los números enteros.

(ii) Usted ya sabe que $e\in S$ . Mira la "multiplicación por la izquierda $a_p$ de $S$ à $S$ de nuevo, y pregunte: ¿hay algún elemento cuya imagen sea $e$ ?

Answer 3

En $G$ es un grupo finito, cada elemento tiene orden finito. Sea $a\in S$ sea un elemento no identitario. Entonces $a$ tiene orden finito digamos $m>1$ . es decir $a^m=a.a^{m-1}=1$ . En $a$ es la no identidad, $m-1>0$ Así que $a^{m-1}$ es la inversa de $a$ en $G$ y como $S$ es cerrado bajo multiplicación, debería estar en $S$ así que $S$ es subgrupo.