Necesito demostrar que $\int _0^\infty \frac {P_1(t)}{z+t} dt $ converge uniformemente para $z=r e^{i \theta}$ tal que $-\pi + \delta \leq \theta \leq \pi - \delta, 0<\delta<\pi$ y $P_1(t)= t-[t]-\frac 1 2$ es la función diente de sierra. Estoy leyendo la demostración de la fórmula de Stirling para funciones gamma y esta convergencia es necesaria para la demostración. Creo que en lugar de $\int _0^\infty \frac {P_1(t)}{z+t} dt$ podríamos considerar $\int _0^\infty \frac {1}{z+t} dt$ ya que la función diente de sierra toma valores comprendidos entre $[-1/2, 1/2]$ . Pero entonces no veo cómo esto converge ya que podríamos tomar $r$ arbitrariamente pequeño. Agradezco cualquier ayuda.
Respuesta
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Puedes reescribir la integral como una suma infinita considerando cada intervalo $t\in(n,n+1)$ por separado. Obtenemos
$$\int_0^\infty\frac{P_1(t)}{z+t}dt=\sum_{n=0}^\infty\int_{n}^{n+1}\frac{t-(n+1/2)}{z+t}dt=\sum_{n=0}^\infty\left[1-(n+z+1/2)\ln \left(1+\frac{1}{n+z}\right)\right]$$
Además, se puede demostrar que
$$1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\right)\ln\left(1+x\right)=\mathcal{O}(x^2), x>0$$
y por tanto la suma converge.
