si un ideal está contenido en la unión de dos ideales entonces está totalmente contenido en uno de ellos.

Question

Si un ideal está contenido en la unión de dos ideales, entonces está totalmente contenido en uno de ellos.

Sea $A,B,C$ son ideales de un anillo $R$ tal que $C$ se encuentra en $A\cup B$ . Entonces se requiere demostrar que $C\subset A$ o $C\subset B$ .

No entiendo cómo hacerlo. Si $C\subset A$ Entonces no hay nada que probar, así que supongamos $C \not\subset A$ entonces existe alguna $c \in C$ tal que $c \notin A$ .

Ahora tenemos que demostrar que todos $x \in C$ están en $B$ . ¿Cómo proceder a continuación? Por favor, que alguien me dé una pista.

Answer 1

Supongamos, por contradicción, que $C$ no se encuentra en $A$ ni en $B$ . Luego están $c_{i} \in C$ para $i = 1, 2$ tal que y $c_{1} \in A \setminus B$ y $c_{2} \in B \setminus A$ .

Entonces $c = c_{1} + c_{2} \in C \subseteq A \cup B$ .

Si $c \in A$ entonces $c_{2} = c - c_{1} \in A$ una contradicción.

Si $c \in B$ entonces $c_{1} = c - c_{2} \in B$ una contradicción.