Los subcampos de unirse a una expresión algebraica elemento a otro

Question

Deje $\alpha$ $\beta$ dos números algebraicos sobre $\mathbb Q$. Decir que un subcampo $\mathbb K$ $\mathbb C$ se une a $\alpha$ $\beta$fib $\beta \in {\mathbb K}[\alpha]$ pero $\beta \not\in {\mathbb K}$. Ahora, si $\mathbb K$ se une a $\alpha$ $\beta$y vamos a añadir algo completamente diferente algebraica de números a $\mathbb K$, todavía tenemos una combinación de$\alpha$$\beta$. Así que es natural considerar a la mínima que se une a de$\alpha$$\beta$, es decir, las combinaciones que son mínimos con respecto al campo de la inclusión. Deje ${\cal M}(\alpha,\beta)$ denota el conjunto de todos los mínimos se une a de$\alpha$$\beta$. Mis conjeturas son que :

1) Cualquier campo en ${\cal M}(\alpha,\beta)$ siempre está contenido en el normal (Galois) cierre de ${\mathbb Q}(\alpha,\beta)$
2) ${\cal M}(\alpha,\beta)$ es siempre finito
3) Los dos hechos anteriores deben ser comprobable mediante la teoría de Galois.
Tenga en cuenta que 2) de la siguiente manera a partir del 1 de).

¿Alguien puede confirmar esto ?

Un simple ejemplo : ${\cal M}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ se compone de ${\mathbb Q}(\sqrt{6})$. En efecto, supongamos $\mathbb K$ se une a $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$y $x$ $y$ son números en $\mathbb K$ tal que $x+y\sqrt{2}=\sqrt{3}$. Si $x \neq 0$ $\sqrt{3}=\frac{3+x^2-2y^2}{2x} \in \mathbb K$ lo cual es absurdo. Por lo $x=0$$y=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Answer 1

Finalmente mis conjeturas parece ser correcta : vamos a $d$ es el grado de la extensión de ${\mathbb K}(\alpha):{\mathbb K} $. Hay exactamente $d$ campo homomorphisms ${\mathbb K}(\alpha)\to \mathbb C$, que coincide con la identidad en $\mathbb K$. Cada uno de este homomorphisms puede ser extendido a un campo homomorphism de ${\mathbb K}(\alpha,\beta)$ $\mathbb C$(en general un único camino). Nos deja denotar por $H$ $d$- elemento del conjunto de todos los homomorphisms así obtenida.

Como darij, dijo, no es un polinomio $P\in {\mathbb K}[X]$ tal que $P(\alpha)=\beta$. Podemos tomar la $P$ de grado menor que $d$. Si denotamos los coeficientes de $P$$p_0,p_1, \ldots , p_{d-1}$, luego tenemos
$\sum_{k=0}^{d-1}p_k \alpha^k=\beta$.
Ahora, la aplicación de los elementos de $H$ a este igualdades rendimientos
$\sum_{k=0}^{d-1}p_k h(\alpha)^k=h(\beta)$
para cualquier $h\in H$. Vemos ahora que el $p_k$ se puede recuperar como soluciones de un $d\times d$ sistema de cuyos coeficientes están en el cierre de ${\mathbb Q}(\alpha,\beta)$. El determinante de este sistema es la de Van der Monde determinante en las distintas conjugados de $\alpha$, por lo que es distinto de cero.

Esta muestra declaración 1) (y 2)). Aunque darij la prueba es incorrecto, como se muestra en los comentarios, todavía puede ser que su declaración es correcta (por lo que "Galois cierre" puede ser suprimidos en la declaración de 1)). Pheraps uno podría mostrarle el Galois manera, mostrando que cualquier campo homomorphism que coincide con la identidad en ${\mathbb Q}(\alpha,\beta)$, de hecho, conserva los coeficientes de $P$.

Answer 2

EDIT: Bien, mal. Lo siento por el spam.

Esto sólo se ve demasiado fácil, así que supongo que estoy haciendo algo estúpido.

Voy a demostrar que

(a) cuando un subcampo $K$ $\mathbb{C}$ satisface $\beta\in K\left[\alpha\right]$,$\beta\in\left(K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)\right)\left[\alpha\right]$.

Agregando a esto el trivial observación de que

(b) siempre que un subcampo $K$ $\mathbb{C}$ satisface $\beta\not\in K$,$\beta\not\in K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$,

vemos que cada vez que un subcampo $K$ $\mathbb{C}$ se une a $\alpha$$\beta$, su subcampo $K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$ hace lo mismo. Esto, obviamente, se asienta 1) (incluso sin el habitual cierre) y, por tanto, 2).

Así que vamos a probar que (a) ahora: Desde $\beta\in K\left[\alpha\right]$, existe un polinomio $P\in K\left[X\right]$ tal que $\beta=P\left(\alpha\right)$. Desde $K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$ es un subespacio vectorial de $K$ (donde el "espacio vectorial" significa $\mathbb{Q}$-espacio vectorial), existe una lineal mapa de $\phi:K\to K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$ tal que $\phi\left(v\right)=v$ por cada $v\in K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$ (esto puede requerir el axioma de elección para el infinite $K$, pero si usted quiere considerar infinito campo de extensiones de $\mathbb{Q}$ Creo que usted no puede ayudar, pero el uso del axioma de elección). La aplicación de la lineal mapa de $\phi$ a cada coeficiente del polinomio $P\in K\left[X\right]$, obtenemos otro polinomio $Q\in \left(K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)\right)\left[X\right]$ que también satisface $\beta=Q\left(\alpha\right)$ (ya que todos los poderes de $\alpha$ $\beta$ mentira en $K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)$, por lo que son invariantes bajo $\phi$). Por lo tanto, $\beta\in\left(K\cap\mathbb{Q}\left(\alpha,\beta\right)\right)\left[\alpha\right]$, qed.

¿Alguien puede comprobar esto por tonterías?