Límite exponencial para la cola del tiempo de salida de [-b,b] de la martingala

Question

El problema:

Sea $(X_n, \mathcal{F}_n)$ sea una martingala tal que $|X_n-X_{n-1}| \leq c$ , $\mathbb{E}(|X_n-X_{n-1}|^2|\mathcal{F}_{n-1}) \geq \delta > 0$ , $\sup X_n = -\inf X_n = \infty$ y $X_0 = 0$ .

Sea $b>0$ y definir el tiempo de parada $\tau = \inf\{n : X_n \not\in (-b,b)\}$ queremos demostrar que existe $C = C(\delta, c)$ tal que para todo $b\geq 10c$ , $$\forall k\in\mathbb{N}: \mathbb{P}(\tau \geq kCb^2) \leq e^{-k}.$$

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Mi solución parcial:

Sea $Y_n = X^2_{n} - \delta n$ entonces $Y_n$ es un submartingale y también lo es $Y_{n\wedge \tau}$ . Es cierto que $\sup \mathbb{E}Y_{n\wedge\tau}^+ \leq \sup \mathbb{E}X_{n\wedge\tau}^2 \leq (b+c)^2$ entonces $Y_{n\wedge \tau} \to Y_\tau$ a.s y $EY_\tau < \infty$ y por el teorema de convergencia dominada \begin{align} \mathbb{E}( X_{n\wedge \tau}^2 - (n\wedge \tau)\delta ) \geq 0 \Rightarrow \mathbb{E}( X_\tau^2) \geq \delta \mathbb{E}(\tau) \end{align} Usando Markov: \begin{equation} \mathbb{P}( \tau \geq k C b^2 ) \leq \frac{\mathbb{E}\tau}{ kCb^2 } \leq \frac{\mathbb{E}X_\tau^2}{ \delta kCb^2 } \leq \frac{(b+c)^2}{ \delta kCb^2 } \approx \frac{1}{k}. \end{equation}

Dar una orden de vinculación $\frac{1}{k}$ pero lejos de la meta que es un límite de orden $e^{-k}$ ¿Cómo mejorarlo?

Answer 1

He aquí un esbozo de solución. Dado $m\in\mathbb{N}$ define $$\tau_m:=\inf\{n\in\mathbb{N}\,:\,n\geq m,\,X_n\not\in (-b,b)\}.$$

Más adelante argumentaremos que existe una $K_0>0$ dependiendo sólo de $\delta$ y $b$ tal que: $$(\star)\,\mathbb{E}[\tau_m - m\mid \mathcal{F}_m]\leq K_0.$$ y por lo tanto $$\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{\tau_m - m>K\}}\mid \mathcal{F}_m]\leq \frac{1}{2}$$ para $K=2K_0$ por la forma condicional de la desigualdad de Markov.

Veamos cómo lo anterior nos da el resultado deseado. Obsérvese la igualdad de sucesos, ya que $i\in\mathbb{N}$ . $$\{\tau>i\,K\} = \{\tau>(i-1)K\}\cap \{\tau_{(i-1)K}-(i-1)K>K\}.$$ Desde $\{\tau>(i-1)K\}\in\mathcal{F}_{(i-1)K}$ , $$\mathbb{P}\{\tau>i\,K\} = \mathbb{E}[{\bf 1}_{\{\tau>(i-1)K\}}\,{\bf 1}_{\{\tau_{(i-1)K}-(i-1)K>K\}}] = \mathbb{E}[{\bf 1}_{\{\tau>(i-1)K\}}\,\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{\tau_{(i-1)K}-(i-1)K>K\}}\mid \mathcal{F}_{(i-1)K}]]$$ y aplicando $(\star)$ con $m=(i-1)K$ da: $$\mathbb{P}\{\tau>i\,K\} \leq \frac{\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{\tau>(i-1)K\}}]}{2} = \frac{\mathbb{P}\{\tau>(i-1)\,K\}}{2}.$$ Si esto es cierto, entonces la prob. de $\tau\geq iK$ decae exponencialmente en $i.$ Desde los acontecimientos $\tau> t$ son decrecientes, obtenemos: $$\mathbb{P}\{\tau>t\}\leq 2^{-\left\lfloor\frac{t}{K}\right\rfloor}.$$

Queda por demostrar $(\star)$ . Esto utiliza el mismo submartingale que definió, de una manera diferente (observe que la expectativa condicional es una v.r.). Dado que $\tau_m\geq m$ es un tiempo de parada, parada opcional da: $$\mathbb{E}[Y_{\tau_m\wedge j} - Y_{m}\mid \mathcal{F}_m]\geq 0\mbox{ a.s.}$$ y así, para $j\geq m$ : $$\delta\mathbb{E}[\tau_m\wedge j -m\mid \mathcal{F}_m]\leq \limsup_j\mathbb{E}[X^2_{\tau_m\wedge j} - X^2_m\mid \mathcal{F}_m]\leq (b+c)^2.$$ En efecto, $X^2_{\tau_m\wedge j} - X^2_m$ es igual a $0$ cuando $X_m\not\in(-b,b)$ (como en ese caso $\tau_m=m$ ) y es como máximo $(b+c)^2$ de lo contrario. Así que el mismo argumento que diste de tomar límites muestra

$$\mathbb{E}[[\tau_m -m\mid \mathcal{F}_m]\leq K_0:=\frac{(b+c)^2}{\delta}.$$