$ \tau = \sqrt{|b'|} $ ¿es así?

Question

No estoy seguro de si hay alguna manipulación incorrecta en esto. Esto no es tarea, sólo algunas manipulaciones simples que he hecho aquí que me llevó a una identidad, y quiero saber si esto es válido. Si no es así, ¿dónde está el error?

Consideremos una curva $\beta:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^3$ parametrizada por la longitud de arco con curvatura $\kappa >0$ y torsión $\tau > 0$ . Sabemos que $|\beta'| = 1$ y $\beta'' = \kappa\cdot n$ donde $n$ es el vector normal. A partir de las ecuaciones de Frenét tenemos $b' = \tau\cdot n$ donde $b$ es el vector binormal. Obsérvese que podemos escribir $n = \frac{1}{\tau}b'$ con esto tenemos que $\beta'' = \frac{\kappa}{\tau}b'$ y $\beta' = n\times b = \frac{1}{\tau}b'\times b $ .

Ahora podemos hacer los siguientes cálculos

$$\kappa = \frac{|\beta'\times\beta''|}{|\beta'|^3} = |\beta'\times\beta''| = \left| \left(\frac{1}{\tau}b'\times b\right)\times\left(\frac{\kappa}{\tau}b'\right)\right| = $$ $$= \frac{\kappa}{\tau^2}\left| \left(b'\times b\right)\times\left(b'\right)\right| = \frac{\kappa}{\tau^2}\left| \left(b'\cdot b'\right)\cdot b - \left(b\cdot b'\right)\cdot b'\right| = $$ $$= \frac{\kappa}{\tau^2}\left||b'|\cdot b\right|= \frac{\kappa}{\tau^2}|b'|\cdot |b| = \frac{\kappa}{\tau^2}|b'|$$

Por lo tanto,

$$\kappa = \frac{\kappa}{\tau^2}|b'| \implies \tau = \sqrt{|b'|} $$

Gracias.

Answer 1

La ecuación

$\vert \tau(s) \vert = \sqrt{\Vert B'(s) \Vert} \tag{0}$

es, de hecho, incorrecta, a saber

En la notación habitual, el Ecuación de Frenet-Serret para el vector binormal es

$B'(s) = -\tau(s) N(s), \tag{1}$

donde $s$ es la longitud de arco a lo largo de $\beta$ . Desde

$\Vert N(s) \Vert = 1, \tag{2}$

(1) conduce directamente a

$\Vert B'(s) \Vert = \vert -\tau(s) \vert \Vert N(s) \Vert = \vert \tau(s) \vert, \tag{3}$

no

$\vert \tau(s) \vert = \sqrt{\Vert B'(s) \Vert}; \tag{4}$

como señaló Ted Shifrin en su comentario,

$B'(s) \cdot B'(s) = \Vert B'(s) \Vert^2 \ne \Vert B'(s) \Vert \tag{5}$

a menos que, por supuesto, $\Vert B'(s) \Vert = 1$ Pero no, en general.

Espero que esto ayude. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!