¿Qué es un número real (también racional, decimal, entero, natural, cardinal, ordinal...)?

Question

En matemáticas, parece haber muchos tipos diferentes de números. ¿Qué son exactamente:

• Números reales
• Enteros
• Números racionales
• Decimales
• Números complejos
• Números naturales
• Cardinales
• Ordinales

Y como señala workmad3 , algunos tipos más avanzados de números (que nunca había escuchado)

• Hyper-reales
• Quaternions
• Números imaginarios

¿Hay algún otro tipo de clasificación de números que haya olvidado?

Answer 1

Los números naturales pueden ser definidos por los Axiomas de Peano (a veces llamados los Postulados de Peano):

1. Cero es un número.
2. Si n es un número, el sucesor de n es un número.
3. cero no es el sucesor de ningún número.
4. Dos números cuyos sucesores son iguales son ellos mismos iguales.
5. (axioma de inducción.) Si un conjunto S de números contiene cero y también el sucesor de cada número en S, entonces cada número está en S.

(Esta definición incluye el 0 en los números naturales; alterando las reglas 1, 3 y 5 para referirse a uno en lugar de cero excluye el 0 de los números naturales. Ya sea que 0 sea un número natural varía en varios textos.)

Los números enteros son los números naturales con el elemento de identidad aditiva llamado 0.

Los números enteros son los números enteros y sus inversos aditivos.

Los números racionales son números que pueden ser expresados como una razón de un número entero a un número entero distinto de cero.

Los números reales son el conjunto de números que son límites de sucesiones de Cauchy de números racionales.

Los números irracionales son los números reales que no son números racionales.

Los números complejos son los números que pueden ser expresados como a + b * i donde a y b son números reales y i se comporta como un número real bajo adición/multiplicación/distribución/etc., con la regla adicional de que _i_2 = -1.

Los números imaginarios son a veces definidos como los números "imaginarios puros"--números complejos para los cuales la "parte real" a = 0, a veces con la restricción adicional de que b no sea cero--y a veces definidos como los números complejos no reales.

Los números algebraicos son números que son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros.

Los números trascendentales son números complejos (a veces limitados a números reales) que no son algebraicos.

Answer 2

Creo que fuiste un poco duro con Isaac. La verdad es que los números reales son una sofisticada construcción matemática y que cualquier explicación de lo que "son" que pretenda lo contrario es una ficción conveniente. Los matemáticos necesitan este tipo de construcciones sofisticadas porque son necesarias para demostraciones rigurosas. Antes de que la gente construyera explícitamente los números reales y los usara para definir y demostrar cosas sobre otros conceptos, nunca fue del todo claro qué era cierto o qué era falso, y todo el mundo estaba muy confundido.

Por ejemplo, Cantor demostró que el número de puntos en el plano es el mismo que el número de puntos en una línea. Muchas personas pensaban que esto era imposible antes de que lo hiciera; tenían la intuición de que no podías "encajar" el plano en la línea. Más generalmente, la gente estaba bastante segura de que no podías encajar $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ si $n$ era mayor que $m$. No fue hasta bastante tiempo después que los matemáticos formalizaron y demostraron una afirmación matemática rigurosa que justificaba esta intuición llamada invarianza de dominio, que dice que no puedes hacerlo de una manera continua. Una de las muchas construcciones matemáticas que necesitas para siquiera enunciar este teorema es la construcción de los números reales. (Otra es una definición formal de lo que significa "continuo", pero una cosa a la vez).

Entonces, ¿qué son los números reales? Son una forma formal de llenar "agujeros" en los números racionales, lo cual es necesario para todo tipo de cosas. Lo más básico para lo que son necesarios es hacer geometría. Probablemente sepas que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Lo que esto significa es que es imposible pensar en la diagonal de un cuadrado como el mismo tipo de objeto que los lados de un cuadrado solo usando números racionales. Pero puedes rotar una diagonal, y se ve igual que el lado de un cuadrado, solo un poco más largo. Así que te gustaría un sistema de números en el que puedas hablar sensatamente sobre cualquier número que puedas construir geométricamente. También te gustaría poder hablar de rotación! Tampoco puedes hacer eso solo con números racionales.

Entonces, ¿cómo llenas suficientes agujeros para hacer geometría? Dedekind ideó una forma muy inteligente de hacer esto. Comienza observando que un número racional $q$ está completamente determinado por el conjunto de números racionales mayores que él y el conjunto de números racionales menores que él. Por ejemplo, 1/2 está completamente determinado por el hecho de que siempre está entre 1/2 + 1/n y 1/2 - 1/n. (Para los iniciados, este es un caso especial del lema de Yoneda.) Pero hay "números", como la raíz cuadrada de 2, que no son racionales, y sin embargo tienen la propiedad de que siempre podemos decir qué números racionales son mayores que él y cuáles son menores que él. Para la raíz cuadrada de 2, estos son precisamente las fracciones p/q tales que 2q^2 < p^2 y tales que 2q^2 > p^2, respectivamente. La brillante idea de Dedekind fue la siguiente:

  

¡Define un número real como una partición de los números racionales!

En la construcción de Dedekind, la raíz cuadrada de 2 quite literalmente es el conjunto de números racionales que son mayores que él y el conjunto de números racionales que son menores que él. Puedes definir todas las operaciones aritméticas habituales en estos "números", llamados cortes de Dedekind, y demostrar todos los maravillosos teoremas que encontrarás en un libro estándar de análisis real. En particular, la propiedad que garantiza que se llenen todos los agujeros se llama completitud.

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Me di cuenta de que también podría añadir algo sobre los números complejos. La historia aquí es hermosa, y si realmente estás interesado, deberías echar un vistazo al Análisis Complejo Visual de Tristan Needham. Algunas personas dicen que el propósito de los números complejos es permitirte resolver polinomios, pero esto realmente los menosprecia. Los números complejos son una construcción intrínsecamente geométrica y deben entenderse como tal. Su geometría y topología son responsables de que puedas resolver polinomios con ellos, pero también son responsables de mucho más.

He aquí un breve esbozo. Ahora que tienes los números reales en tus manos, puedes hablar rigurosamente sobre geometría plana. En la geometría plana, una noción importante es la de similitud. Informalmente, dos figuras son similares si tienen la misma forma. Más formalmente, dos figuras son similares si puedes rotar, trasladar y escalar una figura de modo que coincida con la otra. Así que la similitud se trata de una cierta colección de transformaciones de los puntos en el plano. Fue Klein quien se dio cuenta primero de que las características importantes de diferentes sabores de "geometría" están capturadas en qué tipo de transformaciones se permiten. Así que para hacer geometría de la manera moderna deberíamos centrar nuestra atención en estas transformaciones, que forman un grupo.

Para hacerlo más fácil, ignoremos las traslaciones por ahora. Elegiremos un origen para nuestro plano y solo permitiremos rotaciones y escalados alrededor de este origen. Las rotaciones y escalados tienen la propiedad de que ambos son transformaciones lineales; esto significa que si sabes qué hace la transformación a dos puntos $u, v$, también sabes qué hace a la suma vectorial $u + v$. En particular, una transformación lineal está determinada por lo que hace al punto $(1, 0) y al punto $(0, 1).

Sin embargo, las rotaciones y escalados satisfacen una propiedad adicional: de hecho, están determinados por lo que hacen al punto $(1, 0)$. Esto se debe a que $(0, 1)$ se puede obtener de $(1, 0) mediante una rotación de 90 grados, y las rotaciones y escalados conmutan entre sí: si rotas x grados y luego y grados, es lo mismo que rotar y grados y luego x grados, que es lo mismo que rotar x + y grados. Del mismo modo, si giras x grados y luego escalas por 2, eso es lo mismo que escalar por 2, luego girar x grados. Así que si sabes lo que una rotación y escala hace a $(1, 0), solo giras ese vector en 90 grados, y sabes lo que hizo a $(0, 1).

Así que a cada rotación y escala, podemos asignar dos números reales: las coordenadas de la imagen del punto $(1, 0). En general, una rotación por $\theta$ ángulos seguida de una escala por $r$ envía $(1, 0)$ a $(r \cos \theta, r \sin \theta). Una transformación diferente, digamos una rotación por $\phi$ ángulos seguida de una escala por $s, envía $(1, 0)$ a $(s \cos \phi, s \sin \phi). Y su composición envía $(1, 0)$ a $(rs \cos (\theta + \phi), rs \sin (\theta + \phi). En otras palabras, la composición de rotaciones y escalados define una ley de multiplicación en pares de números reales. ¿Cuál es esta ley exactamente? Bueno, por las fórmulas de suma de ángulos, es

$$(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc).$$

Y esta es precisamente la regla para la multiplicación en los números complejos, donde $(a, b)$ corresponde a $a + bi. Obtienes la regla para la suma observando que no solo puedes componer dos rotaciones y escalados, también puedes sumar sus resultados.

Juntos, los números reales y los números complejos proporcionan una base para gran parte de las matemáticas y la física modernas. Por ejemplo, los números complejos resultan ser fundamentales en la descripción de la mecánica cuántica.

Answer 3

• Números naturales
  Los números "de contar". (Es decir, todos los enteros que son uno o mayores).

• Números enteros
  Los números naturales, y cero.

• Enteros
  Los números enteros, y los negativos de los números naturales.

• Números racionales
  Cualquier número que pueda ser expresado por cualquier entero A dividido por cualquier entero B, donde B no sea cero.

• Números irracionales
  Cualquier número que no puede ser expresado como un número racional, pero no es imaginario. Todos los números irracionales tienen una representación decimal infinita.

• Números reales
  Todos los números racionales e irracionales.

• Números imaginarios
  Todos los números reales, multiplicados por la raíz cuadrada de menos uno. Los números imaginarios se representan por la letra i.

• Números complejos
  Números compuestos por la suma de un número real y un número imaginario. Esto incluye todos los números reales y todos los números imaginarios.

Answer 4

Números reales

Los números reales son aquellos que puedes localizar (incluso aproximadamente) en una línea de números infinita. Esta es una línea teórica de números con una "resolución" infinita que se extiende infinitamente en ambas direcciones, positiva y negativa.

Una propiedad interesante sobre los números reales es que son ordenables; es decir, dados dos números reales, puedes decir cuál es "mayor" y cuál es "menor" que el otro.

Los números reales están cerrados bajo multiplicación, suma y resta. Es decir, si realizas alguna de estas operaciones con dos números reales, el resultado siempre será real también. Están casi cerrados bajo división, excepto por el problema de la división entre cero.

Números que no son reales:

• infinito

• la raíz cuadrada de -1

• 1/0

Decimales

No existe una definición rigurosa de "decimales", porque dependiendo de dónde lo uses, obtendrás diferentes definiciones.

En un sentido elemental, significa cualquier número que tenga una "parte decimal"; o una parte después del punto decimal.

En un sentido más avanzado, significa cualquier número escrito en Base 10.

Números naturales

Los números naturales a menudo también se llaman "números de conteo", porque son los números con los que cuentas. (0,) 1, 2, 3, 4, etc.

Existe cierta discrepancia en la comunidad matemática sobre si 0 es un número natural o no.

Cardinales

En lingüística, esto significa los propios "números" naturales (1, 2, 3, etc.). Pero probablemente no quieras saber sobre lingüística.

En Teoría de Conjuntos, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si cada elemento puede ser emparejado con un elemento del otro conjunto.

{1,2,3} y {4,5,6} comparten la misma cardinalidad porque puedes emparejar 1&4, 2&5, 3&6.

Ordinales

En lingüística, esto significa 1º, 2º, 3º, etc. Pero probablemente no quieras saber sobre lingüística.

En Teoría de Conjuntos, un ordinal es un conjunto bien ordenado.

Answer 5

Quizás también podrías comenzar en lo 'más bajo':

• Los enteros son todos los números enteros,

• Los números naturales (N) son el conjunto de enteros positivos, {1, 2, ...} (0 opcional),

• Los números racionales (Q) son cualquier número que pueda ser representado como a/b donde a y b son enteros (|b| < 0.

• Los números reales son todos los números racionales y todos los demás.

• La Cardinalidad es el número de elementos en un conjunto.

• Un ordinal es un conjunto bien ordenado.