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Transformada de Laplace en el cono de matrices definidas positivas

El título lo dice todo. Deje que $P_p$ sea el cono de definiciones positivas $p \times p$ matrices.

Se puede definir la transformada de Laplace de (la distribución de) una matriz aleatoria con valores en $P_p$ por (por ejemplo, Muirhead: "Aspects of Multivariate Analysis") la integral

\begin{equation} \phi(\Theta) = \int_{P_p} \exp(\sum_{j\le k}^p \theta_{jk} a_{jk}) f(A)\; dA \end{equation}

donde $f(A)$ es la función de densidad de $A$ . (Y $\Theta$ es un simétrico $p\times p$ -matriz)

Así que la pregunta es: estoy buscando referencias para esta transformada de Laplace, teoremas de inversión, métodos numéricos, fórmulas de transformada conocidas, .... etc ???

Gracias por las respuestas. Ahora, estoy buscando esas referencias, pero una es realmente difícil de encontrar, es decir, el volumen 2 del libro de Audrey Terras: "Análisis armónico en espacios simétricos II"

He encontrado el primer volumen, pero el volumen II ni siquiera se puede encontrar en el propio sitio web de Springers. ¿Alguna idea sobre cómo encontrarlo?

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JaredPar Puntos 333733

Están a punto de publicarse las segundas ediciones de ambos volúmenes. Sin embargo, es probable que se tarde un año en actualizarlas. audrey

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sheetansh Puntos 1

Esto es más bien un comentario... A mí también me interesa esta pregunta. Mi interés viene del papel:

Kostant, B.; Sahi, S. (1991), "The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform", Advances in Math. 87: 71-92, doi:10.1016/0001-8708(91)90062-C

Por lo que tengo entendido los conos de matrices positivas están muy relacionados con las álgebras de Jordan y hay un libro muy completo (tengo el archivo, te lo puedo enviar), que en particular contiene muchas cosas sobre la transformada de Laplace:

Análisis de conos simétricos Jacques Faraut, Adam Korányi - 1994 - 382 páginas Oxford University Press, Oxford, Reino Unido

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Daryl Puntos 41

Las transformadas de Laplace y Fourier en el cono de matrices definidas positivas están muy estudiadas. El marco es, como ya mencionó Alexander, el del "análisis en espacios simétricos". He aquí algunas referencias en las que se desarrolla este tema con mayor detalle:

  1. Análisis armónico en espacios simétricos y aplicaciones vols. I y II (en particular, el capítulo 4 del vol. II trata de las matrices positivas), por A. Terras, Springer Verlag. Creo que Terras también incluye una breve tabla de las transformadas de Fourier y sus inversas, que también deberían ser útiles para las transformadas de Laplace.
  2. Análisis de conos simétricos de J. Faraut, A. Koranyi, Clarendon Press, 1994. En particular, véase el capítulo VII
  3. Análisis geométrico en espacios simétricos S. Helgason, AMS, 1991 (el capítulo III trata de la transformada de Fourier).

Para el cálculo, parece que hay que hacer descomposición de vectores propios e integración numérica después. En una nota relacionada, menciono la siguiente caja de herramientas por P. Koev:

Función hipergeométrica de un argumento matricial

Menciono esto porque estas funciones están estrechamente relacionadas con la transformada de Laplace que has mencionado (como se detalla en el libro de Muirhead).

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Katy Puntos 16

Sé que esto no es una respuesta pero no tengo suficientes rep para comentar. A mi también me interesa la pregunta. @Alexander Chervov: Ese libro parece interesante, te agradecería que me enviaras un ejemplar por correo electrónico (si no te importa, claro). Mi dirección de correo electrónico es tarmetjoe@yahoo.com. Gracias.

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