Encontrar el rango de la ecuación. ¿Algún truco?

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema

Para números reales $a,b$ si $a+ab+b=3$ encuentre el intervalo de $m=a-ab+b$ . ¿Hay alguna desigualdad que se pueda utilizar?

Answer 1

No estoy seguro de que pueda obtener una respuesta más elemental, pero podría ver $1+a, 1+b$ son raíces de $x^2-sx+4=0$ donde $s^2\ge 16$ . Por lo tanto, tenemos $m=(a+ab+b)-2(1+a)(1+b)+2(1+a+1+b)-2=2s-7\not \in (-15, 1)$ .

Answer 2

Se le da $a+ab+b=3$ que puedes hacer $(a+1)(b+1)=4$ . Sea $x=a+1, y=b+1$ Así que $xy=4$ $m=a-ab+b=x-1-(x-1)(y-1)+y-1=-xy+2x+2y-3=2x+2y-7=2x+\frac 8x-7$
¿Puedes encontrar el rango de eso?

Answer 3

Establecer $s=a+b$ y $t=a-b$ . Se trata de un cambio de variables sin pérdida, así que transforma la condición: \begin{align*} 3&=a+b+ab\\ 12&=4s+(s+t)(s-t)\\ t^2&=s^2+4s-12=(s+6)(s-2) \end{align*} Por lo tanto, la condición sólo puede cumplirse cuando el lado derecho no es negativo, es decir. $s\notin(-6,2)$ .

Quieres encontrar el rango de $a+b-ab=a+b-(3-a-b)=2s-3$ pero eso es claramente $\mathbb R\setminus (-15,1)$ .