Pregunta sobre lim sup

Question

Supongamos que $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son dos secuencias reales tales que $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ . ¿Es cierto que

$$\lim \sup_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + \lim \sup_{n \to \infty} b_n$$

Answer 1

Sí, es cierto. Una forma fácil de demostrarlo es utilizar la caracterización de lim sup como el mayor límite subsecuente.

Answer 2

Pista: Considere que para cualquier $\epsilon\gt0$ podemos encontrar un $N$ de modo que para todos $n\ge N$ , $$|a_n-a|\le\epsilon/2$$ y hay algo de $m\ge N$ para que $$b_m\ge\limsup_{k\to\infty}b_k-\epsilon/2$$ Ahora sólo tienes que demostrar que para cualquier $\epsilon\gt0$ y $N$ podemos encontrar $m\ge N$ para que $$a_m+b_m\ge a+\limsup_{k\to\infty}b_k-\epsilon$$