Quiero entender un truco en la derivación de las ecuaciones de Schwinger-Dyson

Question

En el libro de Ashok Das, Field theory-path integral approach, comienza la demostración de la ecuación de Schwinger-Dyson utilizando el hecho de que la $\delta Z[J]=0$ Así que \begin{equation} \delta Z[J]=\int \mathcal{D} \phi \frac{\delta S[\phi,J]}{\delta \phi(x)} e^{iS[\phi,J]}=0, \end{equation} pero ya sabemos que \begin{equation} \frac{\delta S[\phi, J]}{\delta \phi(x)}=F(\phi(x))-J(x), \end{equation} donde $F(\phi(x))$ es la ecuación de movimiento.

Así que si volvemos a la primera ecuación y utilizamos la identificación \begin{equation} \phi(x)\rightarrow -i\frac{\delta}{\delta J(x)}, \end{equation} concluimos que $$ \int \mathcal{D}\phi\left(F(\phi(x))-J(x)\right)e^{iS[\phi,J]}=\left(F\left(-i\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)-J(x)\right)\int \mathcal{D}\phi e^{iS[\phi,J]} $$ $$ \left(F\left(-i\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)-J(x)\right)Z[J]=\left(F\left(-i\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)-J(x)\right)e^{iW[J]}=0. $$

Pero es aquí donde me pierdo, ¿cómo pasó de la ecuación anterior para $$ e^{-iW[J]}\left(F\left(-i\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)-J(x)\right)e^{iW[J]}=F\left(\frac{\delta W[J]}{\delta J(x)}-i\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)-J(x)=0. $$

Una pregunta más importante es: ¿qué significa en absoluto esta última ecuación, matemáticamente hablando, porque la derivada funcional ahora no actúa sobre nada?

Answer 1

Los pasos que ya entiende mostraron que $$ \left(F\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x)}\right) -J(x)\right)e^{i W[J]}=0. \tag{1} $$ Esto implica claramente $$ \left(F\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x)}\right) -J(x)\right)e^{i W[J]}c=0, \tag{2} $$ donde $c$ es cualquier constante. Ahora usa la identidad $$ -i\frac{\delta}{\delta J(x)}e^{iW[J]}h[J] = e^{iW[J]}\left(\frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} -i\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)h[J] \tag{3} $$ para desplazar el factor de $e^{iW[J]}$ del lado derecho de la ecuación (2) al lado izquierdo, donde $h[J]$ es un funcional arbitrario. El resultado es la última ecuación mostrada en la pregunta, excepto que aquí la he escrito con una constante arbitraria $c$ en el lado derecho, para que las derivadas variacionales siempre tengan algo sobre lo que actuar, aunque sea algo trivial. El libro aparentemente no se molestó en escribir esta constante arbitraria.

Las derivadas funcionales restantes $\delta/\delta J$ siguen siendo importantes, porque están dentro del argumento de $F(\cdots)$ por lo que siguen actuando sobre el $J$ -que también están dentro del argumento de $F(\cdots)$ . (Por ejemplo, supongamos $F[X]=X^2$ .) Este detalle es exactamente lo que hace que las ecuaciones de Schwinger-Dyson sean diferentes de la ecuación clásica de movimiento para $\phi(x) := \delta W[J]/\delta J(x)$ .

Answer 2

La última identidad de OP es una versión funcional de la siguiente identidad $$e^{-g(x)} f(\partial_x)e^{g(x)}~=~f\left(e^{-g(x)} \partial_xe^{g(x)}\right)1~=~f\left(e^{-[g(x),\cdot]} \partial_x\right)1~=~f\left( \partial_x-[g(x),\partial_x]\right)1~=~f\left(\partial_x+g^{\prime}(x)\right)1,$$ donde $f,g$ son dos funciones suficientemente agradables. La derivada $\partial_x$ actúa hacia la derecha hasta que la función constante $1$ . La función constante $1$ está implícito en la Ref. 1.

Referencias:

1. A. Das, Conferencias sobre QFT, 2008; sección 16.3 p. 690-691 eq. (16.50).