Sea $F: \mathbb{Z}_{20} \to \mathbb{Z}_{20}$ definido por $F(x) = 14x$ . Demostrar que $F$ es un homomorfismo, determinar el núcleo de F y la imagen $F(\mathbb{Z}_{20})$ .
Apenas entiendo los conceptos y es el primer problema que manejo de esta magnitud. Sólo quiero un paso a paso de lo que está sucediendo. Estoy teniendo problemas en este tema y supongo que este es un ejercicio de nivel fácil para aprenderlo y luego analizarlo y digerirlo. Cualquier ayuda seria genial.
Para demostrar que es un homomorfismo de grupo en $(\mathbb{Z_{20}}, +)$ debe demostrar que $F$ conserva la operación de suma, es decir $F(x+y)=F(x)+F(y)$ lo que es cierto porque el anillo $\mathbb{Z_{20}}$ tiene la propiedad distributiva.
El núcleo de $F$ es $Ker(F):=\{x\in \mathbb{Z_{20}}\mid F(x)\equiv 0\}$ es decir, cada número entero $x$ tal que $20$ divide $14x$ que son todos múltiplos de $10$ (el ideal $\langle \overline{10}\rangle)$ porque $20\mid 14x\Leftrightarrow 10\mid 7x\Leftrightarrow 10\mid x$ dado que el $gcd(10,7)=1$ .
Para la imagen, utilice algunos de los teoremas clásicos de isomorfismo y obtendrá $Im(F)\simeq\mathbb{Z_{20}}/Ker(F)=\mathbb{Z_{20}}/\langle \overline{10}\rangle \simeq \frac{\mathbb{Z}/\langle 20\rangle}{\langle 10\rangle/\langle 20\rangle} \simeq \mathbb{Z_{10}}$ .
Deberías comprobar los llamados primer y tercer teoremas de isomorfismo para grupos para ver por qué son utilizables aquí.
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