Brahmagupta, un antiguo matemático indio, dio un algoritmo bastante eficiente para encontrar soluciones enteras al famoso Ecuación de Pell mucho antes de que Fermat lo propusiera ante la comunidad de matemáticos europeos.
La identidad de Brahmagupta:
Si $(x_1,y_1)$ es una solución a $Dx^2+m=y^2$ y $(x_2,y_2)$ es una solución a $Dx^2+n=y^2$ entonces $(x_1y_2\pm x_2y_1,y_1y_2\pm D x_1x_2)$ es una solución de la ecuación $Dx^2+mn=y^2$ .
Matemático famoso André Weil denotado esto más eficientemente por $$(x_1,y_1;m)\oplus (x_2,y_2;n)=(x_1y_2\pm x_2y_1,y_1y_2\pm D x_1x_2;mn)$$
Esto se puede demostrar fácilmente escribiendo $m=y_1^2-Dx_1^2$ y $n=y_2^2-Dx_2^2$ y multiplicándolos $$mn=(y_1^2-Dx_1^2)(y_2^2-Dx_2^2)=(y_1y_2\pm D x_1x_2)^2-D(x_1y_2\pm x_2y_1)^2$$ y observa también que se trata de un grupo. A $600 AD$ matemático es resolver problemas utilizando Teoría de grupos ¡!
Doy un ejemplo, soluciones enteras a $83x^2+1=y^2$ .
Lo sabemos, $$83\times 1^2-2=9^2. $$
Así que aquí tenemos $$(1,9;-2)\oplus (1,9;-2)=(18,81+83;4)=(18,164;4).$$
Así, obtenemos la ecuación, $$\begin{align} &83(18)^2+4=(164)^2\\ \implies &83\left(\frac {18}2\right)^2+1=\left(\frac {164}2\right)^2\\ \implies &83\times 9^2+1=82^2 \end{align}$$
Ahora, tenemos, si $Da^2+1=b^2$ entonces, $$\frac ba-\sqrt D=\frac {b-\sqrt D a}a=\frac {b^2-Da^2}{a(b+\sqrt D a)}=\frac 1{a(b+\sqrt D a)} $$
Por lo tanto, para un $(a,b)$ , $\frac ba$ es una buena aproximación para $\sqrt D$ .
Uno, puede verificar encontrando soluciones a $2a^2+1=b^2$ es decir $(2,3),(12,17),\dots$ . Así que $$\color{red}{\sqrt 2\approx \frac 32,\frac {17}{12},\frac {577}{408}}.$$
Por lo tanto, yo estaba tratando de aproximar $\sqrt \pi$ o $e$ o $\pi$ usando esta identidad, pero no pude llegar a resultado. Estoy intentando mi manera, pero ustedes por favor me ayudan a compartir su idea.
Como, $\pi$ es irracional, no podemos tener $\pi =D$ Así que utilicé $3\lt \pi\lt 4$ Así que $\sqrt 3\lt \sqrt \pi\lt 2$ así que.., $1\lt \sqrt \pi \lt 2$ ,
Pero sintiendo alguna dificultad.
