¿Por qué se elige un tipo concreto de definición de secuencia creciente?

Question

Planteo la siguiente pregunta en el contexto de un curso de análisis de primer nivel.

Una secuencia creciente se define generalmente como: Una sucesión es creciente si y sólo si $a_{n+1} \geq a_n $ para todo n.

¿Sería incorrecto definir la secuencia creciente de la siguiente manera? Una sucesión es creciente si $m \geq n $ entonces $a_m \geq a_n$ y viceversa.

Realmente quiero saber si existe una diferencia conceptual entre las dos definiciones anteriores o son conceptualmente equivalentes.

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Las dos declaraciones:

Una secuencia es creciente si y sólo si $a_{n+1} \geq a_n \quad \forall n$ .

y

Una secuencia es creciente si y sólo si $a_m \geq a_n$ siempre que $m \geq n$ .

son equivalentes.

Dada la primera definición, para cualquier $m \geq n$ podemos decir $a_m \geq a_{m-1} \geq \dots \geq a_{n+1} \geq a_n$ así que $a_m \geq a_n$ por transitividad.

Dada la segunda definición, tomamos simplemente $m = n+1$ .

Aunque ambas definiciones son equivalentes, yo supondría que tomamos la primera porque es más directa a la propiedad sobresaliente de una secuencia creciente. A saber, que cada término es mayor o igual que el último.

Answer 2

No hay diferencia, Su definición es más general porque si se toma $\color{red}{m = n+1}$ llegarás básicamente a la misma definición que leíste en tu libro. Es decir $$\color{blue}{\large{a_{n+1} \geq a_n \space \forall \space n}}$$

Más o menos hiciste una inducción de la definición original porque de $\color{brown}{a_{n+1} \geq a_n \space \forall \space n}$ también se obtiene que $\color{green}{a_{n+2} \geq a_{n+1} \geq a_n \forall n}$ y de ahí se obtiene que $\color{magenta}{a_{n+3} \geq a_{n+2} \geq a_{n+1} \geq a_{n} \forall n}$

y al final llegas a tu definición

Answer 3

Supongo que lo de "viceversa" es un error.

Aunque las definiciones de los candidatos $$ \forall n : a_n\le a_{n+1} \tag{1} $$ y $$ \forall m,n : m\le n\implies a_m\le a_n \tag{2} $$ son lógicamente equivalentes en su contexto, existe sin duda una diferencia conceptual. Una forma de exponerla es intentar utilizar estas definiciones en contextos más generales. Supongamos que queremos considerar un tipo de "pseudosecuencia" en la que los índices no son números naturales, sino otro tipo de objeto (quizá números reales, o pares de enteros, o líneas en el espacio, u otras secuencias, o...), y queremos definir el término "creciente" para estas pseudosecuencias. Si intentamos adaptar la definición (1) a este nuevo escenario, necesitaremos algún análogo de " $n+1$ " para los índices; una forma de pensar en " $n+1$ " es que representa el "siguiente" número natural después de $n$ por lo que querremos que exista una noción clara de "siguiente" para nuestros índices. Esto probablemente requiera un conjunto de índices que sea bien ordenado . (Pensaremos en " $n+1$ "como elemento mínimo del conjunto $\{x : x>n\}$ .) Sin embargo, si utilizamos la definición (2), sólo necesitamos un análogo de $\le$ que formalmente podría ser cualquier relación binaria - aunque si queremos que nuestras pseudo-secuencias se comporten un poco más como lo hacen las secuencias en análisis, probablemente querremos que los índices formen al menos un pedido parcial y tal vez un conjunto dirigido que siguen siendo condiciones mucho más débiles que el buen orden.

Desde un punto de vista más práctico, en la resolución de problemas a menudo es más fácil pruebe creciente de la forma (1), sino a utilice de la forma (2).