¿Sirve de algo $\mathbb{N}$ como una especie de anillo mod un número infinito?

Question

Hace poco bromeaba con mi hermano pequeño sobre los anillos como subconjuntos de $\mathbb{N}$ y el uso de dicha construcción (no se ría, tenemos un extraño sentido del humor). La discusión me hizo pensar si sería útil interpretar $\mathbb{N}$ como un anillo que involucra infinitos similares a ver, digamos, $\{0,1,2,3\}$ como un anillo $\text{mod }4$ . Así que mi pregunta es:

¿Sirve de algo considerar $\mathbb{N}$ como una especie de anillo de ordinales $(\text{mod }\omega)$ o de cardenales $(\text{mod }\aleph_0)$ ? En caso afirmativo, ¿cuáles son algunos ejemplos de situaciones en las que podría ser útil hacerlo? Si no es así, ¿hay alguna "razón" por la que no sea una forma muy útil de ver $\mathbb{N}$ ?

Me debatí entre preguntar sobre ordinales o cardinales (mi intuición me dice que deberían ser ordinales, ya que creo que es lo que se usa más comúnmente para extender los números naturales), pero quería estar seguro, así que pregunté sobre ambos. Siéntase libre de hacerme saber si no tiene sentido hacer mi pregunta con respecto a uno u otro, y yo estaré encantado de eliminar esa.

Answer 1

Si tuviera que aventurar una respuesta, diría que no, porque la suma ordinal forma un monoide no conmutativo, no un grupo abeliano, por lo que no se podría hacer un anillo con él. Aunque la aritmética cardinal depende de tus axiomas, en general también forman un monoide tanto para la suma como para la multiplicación.

Answer 2

La razón por la que los anillos de módulo son útiles es que forman un isomorfismo con $\mathbb{N}$ . Es decir, para la suma y la multiplicación $(n * m) \mod b \equiv (n \mod b) * (m \mod b)$ . No estoy seguro de que se pueda crear un sistema equivalente entre $\mathbb{N}$ y un conjunto mayor.