Expectativas recíprocas: ¿Qué es $E[\frac{1}{X^\alpha}]$ , $\alpha>1$ cuando $X$ se distribuye normalmente.

Question

Sea $X\sim N(0,\sigma^2)$ rv normalmente distribuido. 1) ¿Qué es $E\left[\frac{1}{X^2}\right]$ ? 2) ¿Qué ocurre con $E\left [\frac{1}{X^4} \right]$ ?

Al introducir la primera en Wolfram Alpha o Mathematica se obtiene una respuesta aparentemente sin sentido, $E\left[\frac{1}{X^2}\right] = - \frac{1}{\sigma^2}$ (¡número negativo!). Intentando una rápida integración por partes también se obtiene la misma respuesta (véase más abajo).

El segundo da $E\left [\frac{1}{X^4} \right]=\frac{1}{3\sigma^4}$ que también parece fuera de lugar dado $E\left [{X^4} \right]=3 \sigma^4$ lo que implicaría $E\left [\frac{1}{X^4} \right]=\frac{1}{E\left [{X^4} \right]}$

¿Por qué la integración por partes conduce a respuestas erróneas? Aquí están los pasos línea por línea para la primera con $\sigma=1$ para simplificar: Utilizando $\int v'u = [uv] - \int vu'$ :

$E\left[\frac{1}{X^2}\right] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^{-2} e^{-x^2/2} dx$ ,

con \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} x^{-2} e^{-x^2/2} dx &= [(-\frac{1}{x})e^{-x^2} ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (\frac{1}{x}) (x) e^{-x^2} dx \\ &= [(-\frac{1}{x})e^{-x^2} ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} dx\\ &= 0 - \sqrt{2\pi}\\ &= - \sqrt{2 \pi}. \end{align} Implica $E\left[\frac{1}{X^2}\right]=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2\pi}=-1$ .

¿Ve algún error?

Answer 1

Por comodidad $\sigma=1$ y observar que:

$$\int_0^1 x^{-\alpha}e^{-\frac12x^2}dx\geq e^{-\frac12}\int_0^1x^{-\alpha}dx=+\infty$$ para $\alpha>1$ .

Esto indica que $X^{-\alpha}$ no es integrable si $\alpha>1$ .

Incluso más fuerte (véase el comentario de @Did sobre esta cuestión).