Sí, esto siempre es cierto.
Prueba:
Supongamos que $x^* \in \mathbb{R}^n$ es el punto donde $F(x)$ alcanza máximos, donde cada uno de sus componentes $x^*(i)$ puede ser desigual. Puesto que por definición de $F$ también se obtendrán máximos en todas las permutaciones de $x^*$ $i.e.\ \Pi(x^*)$ . Ahora puede demostrar que $F(x)$ alcanza el máximo en todos los puntos del casco convexo de $\Pi(x^*)$ . Sea $y \in S$ donde $S$ es el casco convexo de $\Pi(x^*)$ :
Por concavidad de $F$ $$ F(y) = F \bigg(\sum_{x_i \in \Pi(x^*)}\theta_i x_i \bigg) \geq \sum_{x_i \in \Pi(x^*)} \theta_i F(x_i) = F(x^*). $$ donde $\theta_i \geq 0$ y $\sum_i \theta_i = 1$ . Pero el máximo se obtiene en $x^*$ . Por lo tanto $F(y) = F(x^*)$ .
Es trivial demostrar que el punto $\left(\dfrac{1}{n},...,\dfrac{1}{n}\right)^{\top}$ pertenece siempre a este casco convexo de $\Pi(x^*)$ ya que es la media de todos los elementos de $\Pi(x)$ . Por ejemplo: se puede tomar $n$ puntos manteniendo el orden cíclico de $x^*$ (permutaciones cíclicas) y asignar todas las $\theta_i = 1/n$ . Desde $x^*$ se encuentra en el simplex sus coordenadas suman 1.
