Vuelva a escribir $y(x) = \int_0^x xy(\tau) d\tau + 2x + 1$ como una EDO en forma de $u'(t) = F(t, u(t))$ con la condición $u(t_0) = u_0$

Question

Me dijeron que lo diferenciara dos veces por $x$ (¿por qué no una vez?), así que eso es lo que hice aquí:

$$y(x) = \int_0^x xy(\tau) d\tau + 2x + 1$$

$$y'(x) = xy(x) - xy(0) + 2$$

$$y'' (x) = y(x) + xy'(x) - xy(0)$$

Si lo hago $u = (u_1, u_2) = (y, y')$ y escribe $t$ en lugar de $x$ entonces tendré

$$u' = (y', y'') = (u_2, u_1 (t) + tu_2(t) - tu_1 (0)) = F(t, u(x))$$

Pero me dijeron que debería obtener un sistema de EDOs y por tanto alguna ecuación matricial. Pero no veo cómo se debe obtener aquí?

Es importante porque también queremos demostrar que existe exactamente una solución en la vecindad de $t_0 = 0$ . Para ello, tenemos que demostrar que la matriz que obtenemos en nuestra ecuación matricial cumple la condición de Lipschitz (introduciendo una norma matricial arbitraria para demostrarlo).

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Si $Y(x)=\int_0^xy()\,d$ es una primitiva, entonces la ecuación puede escribirse como $$ y(x)=xY(x)+2x+1. $$ Las derivadas son $$ y'(x)=xy(x)+Y(x)+2,\\ y''(x)=xy'(x)+2y(x) $$ También podría eliminar $Y(x)$ en la primera ecuación por la ecuación original, pero entonces $x=0$ sería un punto singular de la ED resultante.