Determinar el máximo y el mínimo de una expresión

Question

Sea $x,y,z \in \Bbb R, x,y,z \gt 0$ tal que $x^2+y^2+z^2=1$ . Determinar los valores máximo y mínimo posibles de la expresión $$\frac {x^3+y^3+z^3} {x+y+z}.$$

Answer 1

En desigualdad de reordenación implica que $$3(x^3+y^3+z^3)\ge (x+y+z)(x^2+y^2+z^2).$$ Así que el mínimo es $\frac13$ alcanzado cuando $x=y=z$ .

Puesto que obviamente $x,y,z\in(0,1)$ , $$\frac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z}<1\tag1.$$ Por otra parte, si fijamos $y=z=\varepsilon$ y $x=\sqrt{1-2\varepsilon^2}$ entonces $$\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z}=1.$$ Eso demuestra el límite superior $1$ en (1) es agudo y dicha función no tiene un máximo.