Hallar la suma parcial de una serie

Question

Necesito hallar la suma de n términos de una serie: $$-1 +2-3+4-5+6 .... $$ Que es de la forma $$\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k$$ No estoy seguro de cómo debería enfocar esto

Answer 1

Sea $S_n=\sum_{k=0}^nr^k$ . Esto se conoce como la serie geométrica:

$$S_n(r)=\sum_{k=0}^nr^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

Si tomamos la derivada de ambos lados, obtenemos

$$S_n'(r)=\sum_{k=1}^nkr^{k-1}=\frac d{dr}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

Sea $r=-1$ y multiplicar ambos lados por $-1$ para obtener

$$\sum_{k=1}^nk(-1)^k=-\left(\frac d{dr}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\bigg|_{r=-1}\right)$$

Answer 2

CONSEJO

Aviso $$ (-1+2) + (-3+4) + \ldots = 1 + 1 + \ldots $$

Answer 3

Calcula tus sumas parciales.

$S_1 = -1 $

$S_2 = -1 + 2 = 1$

$S_3 = S_2 - 3 = -2$

$S_4 = S_2 + 4 = 2$

$S_5 = S_4 -5 = -3$

$S_6 = S_2 + 6 = 3$

Es evidente que este patrón continúa.

Se pueden encontrar dos expresiones distintas, una para n par y otra para n impar,

O puede utilizar la función "suelo" o "techo".

$\lfloor{(n-1)/2} \rfloor$ = número entero mayor $\leq (n-1)/2$ o

o $\lceil (n/2) \rceil = $ menor número entero $\geq (n/2)$

Con una de estas expresiones y $(-1)^n$ construya su fórmula para $S_n$ .

Answer 4

En $n$ es par, como $$-1+2-3+4-5+6=\color{red}{-1+1}+1\color{red}{-3+3}+1\color{red}{-5+5}+1=3$$ Así que inductivamente el total es $$\frac n2$$

En $n$ es impar, como $$-1+2-3+4-5+6-7=\color{red}{-1+1}+1\color{red}{-3+3}+1\color{red}{-5+5}+1-7=-4$$ Así que inductivamente el total es $$-\frac{n+1}{2}$$

Answer 5

Sea $s(n)=-1 +2-3+4-5+6 ....+(-1)^nn = \sum_{k=1}^n(-1)^kn$

Ahora tenemos que $$s(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k(n+1)$$ $$s(n+1)=(-1)^{n+1}(n+1)+\sum_{k=1}^{n}(-1)^kn+\sum_{k=1}^{n}(-1)^k$$ $$s(n+1)=(-1)^{n+1}(n+1)+s(n)+\frac{1}{2}[(-1)^n - 1]$$
Podemos restar $s(n)$ de ambos lados y obtenemos una ecuación en diferencias finitas que podemos resolver felizmente con cualquier técnica común