Teorema inverso de la función homogénea de Euler

Question

Teorema de la función homogénea de Euler dice, si $$f(tx,ty)=t^nf(x,y),$$ entonces uno tiene: $$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=nf(x,y)$$

Sin embargo, ¿podemos invertirlo? es decir. si $$f(tx,ty)=t^nf(x,y),$$ y existen 2 funciones $g(x,y)$ y $h(x,y)$ tal que $$xg(x,y)+yh(x,y)=nf(x,y).$$ entonces podemos decir que debe ser $$g(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$ y $$h(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,?$$

Answer 1

La respuesta es no. Considere $f(x, y)=x^2+y^2$ que es $2$ -homogéneo. Cumple $$ 2f(x, y)= xg(x, y)+yh(x, y)$$ con $g(x, y)= 2x+ 2y, h(x, y)=2y-2x$ Así que $g\ne \partial_x f$ y $h\ne\partial_y f$ .