factor de grupo libre: ¿las bases de los generadores convergen fuertemente entre sí?

Question

Considere $W=L(\mathbb{F}_{n})$ el álgebra de von Neumann de grupo libre con $n$ generadores. $W$ es cerrado bajo topología de operador fuerte (por el teorema bicomutante). Me pregunto para el álgebra generada por el generador $\delta_{i}, i\in\{1,...n\}\backslash\{j\}$ existirá una secuencia en él tal que converja fuertemente a $\delta_{j}$ ?

Creo que la respuesta es no, ya que los generadores son independientes, pero no veo cómo está relacionado.

Answer 1

Prefiero escribir $u_1,\dots,u_n$ para los generadores como $\delta_j$ normalmente denota elementos de $\ell_2(G)$ . Sea $\mathcal A$ sea el $\ast$ -generada por $\{u_k\mid k\neq j\}$ .

Supongamos que hay in $\mathcal A$ que converge fuertemente a $u_j$ . Entonces $\mathcal A$ debe ser fuertemente denso en $L(\mathbb F_n)$ . Por el teorema de la densidad de Kaplansky esto implica la existencia de una red limitada por la norma $(x_\alpha)$ en $\mathcal A$ que converge fuertemente a $u_j$ (si sólo te interesan las secuencias, puedes saltarte este paso y aplicar directamente el principio de acotación uniforme para ver que la secuencia está acotada por norma).

Sea $$ \tau\colon L(\mathbb F_n)\to \mathbb C,\,x\mapsto \langle \delta_e,x\delta_e\rangle. $$ Este es un estado normal en $L(\mathbb F_n)$ . Por lo tanto, si $(x_\alpha)$ es una red acotada en $L(\mathbb F_n)$ que converge fuertemente a $0$ entonces $y_\alpha^\ast y_\alpha\to 0$ débilmente, lo que implica $\tau(y_\alpha^\ast y_\alpha)\to 0$ .

Sin embargo, para $y_\alpha=x_\alpha-u_j$ tenemos $$ \tau((x_\alpha-u_j)^\ast(x_\alpha-u_j))=\tau(x_\alpha^\ast x_\alpha)-\tau(x_\alpha^\ast u_j)-\tau(u_j^\ast x_\alpha)+\tau(u_j^\ast u_j). $$ Por supuesto $\tau(u_j^\ast u_j)=1$ . Además, $$ \overline{\tau(u_j^\ast x_\alpha)}=\tau(x_\alpha^\ast u_j)=\langle x_\alpha \delta_e,\delta_{g_j}\rangle=0 $$ desde $x_\alpha$ es una combinación lineal de elementos $\lambda(g)$ con $g$ en el subgrupo generado por $g_k$ para $k\neq j$ (aquí $g_1,\dots,g_n$ denotan los generadores de $\mathbb F_n$ ). Esto implica $$ \tau((x_\alpha-u_j)^\ast(x_\alpha-u_j))\geq \tau(u_j^\ast u_j)=1 $$ en contradicción con nuestra afirmación original.

Como cabe suponer, esto no es específico de los grupos libres. Siempre que $G$ es un grupo discreto contable y $H$ un subgrupo propio, entonces $\{\lambda(h)\mid h\in H\}$ está correctamente contenida en $L(G)$ . Como se ha señalado en los comentarios, esto se reduce al hecho de que las imágenes de los elementos del grupo en $L(G)$ son ortonormales respecto al producto interior inducido por $\tau$ junto con el hecho de que este producto interior induce la topología fuerte sobre la bola unitaria de $L(G)$ .