Determina si el conjunto dado a continuación es un espacio vectorial o no.

Question

Determina si el conjunto $V=\Bbb R^2$ con la suma de vectores y la multiplicación escalar definida como: $(x,y)+(x_1,y_1)=(x+x_1,y+y_1+1)$ y $r \cdot (x,y) = (rx,ry+r-1)$ para todo $(x,y),(x_1,y_1) \in V$ y para todo $r \in \Bbb R$ es un espacio vectorial o no.

Intento: Sea $(x,y),(x_1,y_1),(a,b),(c,d),(e,f) \in V$ y $r \in \Bbb R$. Entonces,

1. $(x,y)+(x_1,y_1) \in V$ (por definición de $+$).
2. $r\cdot (x,y) \in V$ (por definición de $\cdot$).
3. Dado que \begin{equation*} (0,-1) + (x,y) = (0+x,-1+y+1) = (x,y), \end{equation*} entonces $(0,-1)$ es la identidad aditiva en $V$.
4. Dado que \begin{equation*} (-x,-y-2) + (x,y) = (-x+x,-y-2+y+1) = (0,-1), \end{equation*} entonces $(-x,-y-2)$ es el inverso aditivo en $V$.
5. $(a,b)+((c,d)+(e,f)) = ((a,b)+(c,d))+(e,f)$.
6. $r \cdot ((a,b)+(c,d)) = r\cdot (a,b) + r \cdot (c,d)$.
7. $(r+s)\cdot (a,b) = r \cdot (a,b) + s \cdot (a,b)$.
8. $1 \cdot (a,b) = (a,b)$, donde $1$ es la identidad multiplicativa en $\Bbb R$.
9. $(rs)\cdot (a,b) = r\cdot (s \cdot (a,b))$.
10. $(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$.

Por lo tanto, $V$ es un espacio vectorial bajo $+$ y $\cdot$ definidos como arriba.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Esta es mi prueba de los otros 6 axiomas anteriores (axioma 5,6,7,8,9,10).

Para 5: \begin{align*} (a,b)+((c,d)+(e,f)) &= (a,b)+(c+e,d+f+1) \\ &= (a+(c+e),b+(d+f+1)+1) \\ &= ((a+c)+e,f+(b+d+1)+1) \\ &= (a+c,b+d+1)+(e,f) \\ &= ((a,b)+(c,d))+(e,f). \end{align*}

Para 6: \begin{align*} r \cdot ((a,b)+(c,d)) &= r \cdot (a+c,b+d+1) \\ &= (r(a+c),r(b+d+1)+r-1) \\ &= (ra+rc,rb+rd+r+r-1) \\ &= (ra+rc,rb+r-1+rd+r-1+1) \\ &= (ra,rb+r-1)+(rb,rd+r-1) \\ &= r\cdot (a,b) + r \cdot (c,d). \end{align*}

Para 7: \begin{align*} (r+s)\cdot (a,b) &= ((r+s)a,(r+s)b+(r+s)-1) \\ &= (ra+sa,rb+sb+r+s-1-1+1) \\ &= (ra,rb+r-1)+(sa,sb+s-1) \\ &= r\cdot (a,b) + s\cdot (a,b). \end{align*}

Para 8: \begin{equation*} 1 \cdot (a,b) = (1\cdot a, 1\cdot b + 1-1) = (a,b). \end{equation*}

Para 9: \begin{align*} (rs)\cdot (a,b) &= ((rs)a,(rs)b+(rs)-1) \\ &= (r(sa),r(sb)+rs-r+r-1) \\ &= r \cdot (sa,sb+s-1) \\ &= r \cdot (s \cdot (a,b)). \end{align*}

Para 10: \begin{align*} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d+1) \\ &= (c+a,d+b+1) \\ &= (c,d)+(a,b). \end{align*}