Hay algo que no entiendo en la página 36 de estas notas de clase (Autor: Fiorenzo Bastianelli de la universidad de Bolonia, título: Integrales de camino para fermiones y mecánica cuántica supersimétrica). Lo resumo aquí pero los enlazo de todas formas por si alguien quiere consultarlos.
Así que estamos tratando de construir una acción supersimétrica, trabajamos en el superespacio $D=1$ y $N=2$ con una coordenada espaciotemporal $t$ y dos coordenadas de Grassman $\theta$ y $\bar{\theta}$ .
El generador de la traslación temporal es $$H= i \frac{\partial}{\partial t}$$ Los generadores de la transformación de supersimetría, que son traslaciones en las direcciones anticonmutativas son $$Q= \frac{\partial}{\partial \theta} + i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t} $$ y $$\bar{Q}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} + i \theta \frac{\partial}{\partial t} $$ Definimos un supercampo escalar, par de Grassman $X(t,\theta, \bar{\theta})$ que, bajo transformación supersimétrica se transforma de esta manera $$\delta_S X(t,\theta, \bar{\theta}) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, X(t,\theta, \bar{\theta}) $$
Con $\epsilon$ y $\bar{\epsilon}$ Parámetros de Grassmann.
Ahora definimos las derivadas covariantes $$ D= \frac{\partial}{\partial \theta} - i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ $$ \bar{D}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} - i \theta \frac{\partial}{\partial t} $$
de modo que la derivada covariante de un supercampo sigue siendo un supercampo, lo que significa que
$$ \delta_S DX = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, DX $$
Todos los conmutadores y anticonmutadores son nulos excepto éstos $$ \{ Q,\bar{Q} \} = 2H$$ $$\{D,\bar{D}\} = -2i \partial_t$$
Ahora decimos que un Lagrangiano $L=L(X,DX,\bar{D}X)$ que depende sólo implícitamente de las coordenadas del superespacio a través del supercampo y sus derivadas covariantes puede dar una acción supersimétrica. Y esto es así porque se transforma bajo la transformación supersimétrica como una derivada total. La forma exacta de la variación del Lagrangiano bajo la transformación de supersimetría es esta:
$$ \delta_S L(X,DX, \bar{D}X) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q) \, L(X,DX, \bar{D}X) $$
Ahora las cosas que no entiendo son estas dos:
-
¿Por qué el Lagrangiano se transforma así bajo la transformación de supersimetría? No soy capaz de demostrarlo, puedo proporcionar un esbozo de mi intento de elaborar su transformación si me lo piden, pero en realidad no creo que haga nada.
-
Suponiendo que sea la ley de transformación correcta del Lagrangiano, ¿por qué es una derivada total? Me parece que sólo se transforma como un supercampo, pero no veo por qué es una derivada total.
