Factoring $x^{24}-1$ en $\mathbb{F}_7[x]$

Question

Yo estaba tratando de factor $x^{24}-1$ en $\mathbb{F}_7[x]$ Sin embargo, me encontré con algunos problemas al intentar encontrar ciertos coeficientes de los polinomios irreducibles.

Mi esfuerzo:

He calculado los cosets ciclotómicos módulo $24$ cuando $q=7$ y obtuve la siguiente lista:

Así, $\{0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,13,16,17,20\}$ es una lista de representantes. Desde $24 |7^2-1$ tomamos un elemento primitivo $\alpha$ de $\mathbb{F}_{49}$ y la factorización será de la forma

\begin{equation*} x^n-1=\prod_{i=1}^{15} M^{\left(2 s_i \right)}(x), \end{equation*}

donde $s_i$ es el $i$ -ésimo representante y $M$ es el polinomio mínimo respectivo de $\alpha^{2s_i}$ con respecto a $\mathbb{F}_7$ . Por ejemplo, \begin{equation*} M^{(0)}(x)=x-\alpha^0=x-1. \end{equation*}

y

\begin{equation*} M^{(2)}(x)=(x-\alpha^2)(x-\alpha^{14})=x-(\alpha^2+\alpha^{14})+\alpha^{16}. \end{equation*}

¿Cómo podría entonces simplificar $\alpha^2+\alpha^{14}$ y $\alpha^{16}$ ? No necesito una respuesta completa (me gustaría resolverlo yo mismo), sólo una idea de cómo proceder.

Answer 1

Para encontrar un elemento $\alpha$ primero tenemos que hacer que el campo $\Bbb{F}_{49}$ un poco más explícito. Una forma sencilla de hacerlo es observar que como $7\equiv3\pmod4$ , $-1$ es un no-residuo cuadrático módulo $7$ . Por lo tanto, podemos utilizar un cero de $x^2+1$ como elemento a unir. Llamemos a ese elemento $i$ Así que $$ \Bbb{F}_{49}=\Bbb{F}_7(i)\simeq\Bbb{F}_7[x]/\langle x^2+1\rangle. $$

Por tanto, hay muchas formas de encontrar la raíz de unidad necesaria. Observamos que $\omega=2$ puede asumir las funciones de una tercera raíz de la unidad como $2^3=8\equiv1$ . De los números complejos recordamos que $(1+i)/\sqrt2$ es una raíz octava de la unidad. Aquí $3^2=9\equiv2$ Así que $3$ puede desempeñar el papel de $\sqrt2$ y llegamos a $$ u=\frac{1+i}{\sqrt2}=\frac{1+i}3=5+5i $$ como raíz octava de la unidad. Como $3$ y $8$ son coprimos, el producto $$ \alpha:=\omega u=10+10i=3+3i $$ tiene orden $24$ .

Elevar a la séptima potencia es un automorfismo de campo $F$ de $\Bbb{F}_7$ . El automorfismo sólo puede coincidir con "la conjugación compleja". En otras palabras, para todo $a,b\in\Bbb{F}_7$ tenemos $$(a+bi)^7=F(a+bi)=a-bi.$$

Esto nos dice que el primer factor cuadrático $$ \begin{aligned} f_1(x):=(x-\alpha)(x-\alpha^7)&=(x-[3+3i])(x-[3-3i])\\ &=([x-3]-3i)([x-3]+3i)\\ &=(x-3)^2-(3i)^2\\ &=x^2-6x+9+9\\ &=x^2+x+4. \end{aligned} $$ Los demás factores pueden encontrarse así. Existen algunos atajos. Podemos calcular que $\alpha^2=9+18i-9=18i=-3i$ y por lo tanto $\alpha^4=(-3i)^2=-9=5$ . Se trata de una raíz de la unidad de orden seis (= una raíz primitiva módulo siete), por lo que $\alpha^5=5\alpha=\alpha/3$ . Por lo tanto $\alpha^5$ es una raíz de $$ f_5(x):=3^{-2}f_1(3x)=\frac12(2x^2+3x+4)=x^2+5x+2. $$ Podemos aplicarlo repetidamente. Dejándole a usted hacer el resto.

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Cabe señalar que también podemos factorizar polinomios sobre campos finitos de otras formas. Este método tiene la ventaja de que, al producir los factores, también enumeramos sus ceros. Eso puede ser útil cuando se hace más aritmética en $\Bbb{F}_7(i)$ .

La otra observación que quiero hacer es que la elección de una raíz primitiva de unidad de orden $24$ simplemente permuta los factores de $x^{12}+1$ .