Análisis de un circuito RLC en serie sobreamortiguado (de "Foundations of Analog and Digital Circuits")

Question

Estoy estudiando "Foundations of Analog and Digital Circuits (Agarwal)" y, por primera vez, estoy perplejo.

En concreto, en la sección 12.2.2 analizan un circuito RLC en serie sobreamortiguado y no accionado. Para ilustrar el comportamiento del circuito cuando R crece mucho, se calculan los límites de las raíces s1 y s2 cuando R tiende a infinito.

Así:

Me parece bien el resultado para s1. El de s2 me tiene desconcertado y más teniendo en cuenta el resultado de s1. Para 12,70, veo que la expresión entre paréntesis se evalúa como '1 - 1' cuando R crece mucho (igual que se evaluó como '1 + 1' en el caso de 12,69).

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Cuando alfa crece la expresión bajo raíz cuadrada no tiende a 1-1, tiende a 1-0 o mejor a

$$ \sqrt{1-\left(\frac{\omega_0}{\alpha}\right)^2}\rightarrow1-\frac{1}{2}\left(\frac{\omega_0}{\alpha}\right)^2 $$

es un límite bien conocido.

$$ a\rightarrow 0\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\sqrt{1\pm a}\rightarrow1\pm\frac{a}{2}$$

En el caso 12.69 no tenemos en cuenta la (pequeña) fracción frente a 2.

En el caso 12.70 la fracción (pequeña) es lo único que queda.