Primero, verifique que el foco dado se encuentre en la línea $x+2y-1=0$, lo que significa que esta línea es el eje transversal de la hipérbola. Luego refleje la asíntota dada en esta línea para obtener una ecuación de la otra asíntota en la forma $px+qy+r=0$. Una ecuación de la hipérbola es entonces $(2x+y-5)(px+qy+r)=k$. Por último, elija $k$ de manera que la hipérbola tenga un foco en $(1,0)$.
Hay varias formas de hacer lo último. Por ejemplo, podría utilizar los métodos en las respuestas a esta pregunta para calcular los focos de la hipérbola anterior y igualarlos a $(1,0)$ para obtener una ecuación para $k$. O, podría utilizar el hecho de que el círculo a través de los focos centrado en el centro de la hipérbola, ya sea la recta tangente en un vértice y ya sea la asíntota son concurrentes para generar una ecuación para $k$.
De hecho, esta última propiedad sugiere otra forma de construir la ecuación requerida. Primero, calcule la intersección del eje y la asíntota para obtener el centro $C$ de la hipérbola. Luego, calcule una intersección $D$ del círculo centrado en $C$ que pasa por el foco dado con la asíntota (cualquiera de las intersecciones servirá). A partir de ahí, trace una perpendicular al eje para obtener un vértice $V$ de la hipérbola. Esta construcción se ilustra a continuación:
![Construcción de hipérbola]()
La longitud del semieje mayor $a$ es entonces $CV$, mientras que la longitud del semieje menor es la distancia desde el foco hasta la asíntota. El eje conjugado tendrá una ecuación de la forma $2x-y+d=0$, y por lo tanto, una ecuación de la hipérbola es $${(2x-y+d)^2 \over a^2} - {(x+2y-1)^2 \over b^2} = 2^2+1^2.$$ Dejo a usted encontrar los parámetros desconocidos.
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