¿Existe un primo $p > 5$ tal que $3p+1 = 2^n, n \in \mathbb{N}$ ?

Question

Estaba mirando la factorización de primos, y me preguntaba si, en general, hay algún primo mayor que 5 de modo que 3 veces el primo más uno sea una potencia de dos.

En caso afirmativo, ¿existe algún método para determinarlo sin multiplicarlas, es decir, hay algún patrón en el que aparezcan?

He probado todos los primes bajos y no he encontrado ninguno que haga esto como $5$ .

Answer 1

Si $3p+1=2^n$ entonces $2^n\equiv 1 \pmod{3}$ y por lo tanto $n$ es par. Sea $n=2m$ .

Entonces $$3p=2^{2m}-1=(2^m-1)(2^m+1)$$

Esto significa que $$2^m-1=1 \\ 2^m+1=3p$$ lo que no es posible, o $$2^m-1=3 \\ 2^m+1=p$$ que da $p=5$ .

Por lo tanto, $p=5$ es la única posibilidad.