Si $F \subseteq L$ es una extensión de campo algebraico y $\phi:L \to L$ es un $F$ -entonces $\phi(L)=L$ .

Question

Sea $F \subseteq L$ sea una extensión de campo algebraico y sea $\phi:L \to L$ ser un $F$ -monomorfismo. Quiero demostrar que $\phi(L)=L$ . La pregunta es de Álgebra de Martin Isaacs .

Tengo una pista: Un polinomio $f\in F[x]$ debe tener tantas raíces en $\phi(L)$ como en $L$ . Pero no puedo utilizar la pista.

Answer 1

Sea $u \in L$ . Entonces, $u$ es algebraico sobre $F$ .

Consideremos ahora el polinomio mínimo $f$ de $u$ . Utiliza la pista proporcionada: Desde $\phi(L) \subset L$ y $f$ tiene tantas raíces en $\phi(L)$ como en $L$ todas las raíces de $f$ en $L$ pertenecen a $\phi(L)$ .

Desde $u$ es una de las raíces, lo anterior demuestra que $u \in \phi(L)$ .

Answer 2

Supongamos que hay $a \in L$ tal que $a$ no es a imagen y semejanza de $\phi$ entonces como la extensión es algebraica hay un polinomio irreducible $f \in F[x]$ tal que $f(a) =0$ . Sea $S$ denotan el conjunto de ceros de $f$ en $L$ a continuación, a partir de su sugerencia $\phi$ idnuce una autobiyección de $S$ .