Expresión de las proyecciones ortogonales sobre un operador lineal $T$ como polinomios en $T$

Question

En el espacio del producto interior $\mathbb{C}^{2}$ con su producto interior estándar, sea $$T\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x+4y\\-4x+3y \end{pmatrix}$$ un operador lineal. Expresar las proyecciones ortogonales sobre $T$ como polinomios en $T$ .

¿Qué quieren decir al expresar las proyecciones como polinomios en $T$ ?

Lo que he hecho hasta ahora:

Elegí la base ortonormal estándar $B = \left ( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} ,\; \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \right )$ para lo cual $\left [ T \right ]_{B} = \begin{bmatrix} 3 & 4\\-4 & 3 \end{bmatrix}$ .

Los eigespacios son $$V_{3+4i} = Span\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ i\end{pmatrix} \right \} ,\; V_{3-4i} = Span\left \{ \begin{pmatrix} i \\ 1\end{pmatrix} \right \}$$

Tras normalizar los vectores anteriores, utilicé la fórmula de proyección ortogonal $P_{U}(v) = \sum_{i=1}^{n} \left \langle v, u_{i} \right \rangle u_{i}$ y descubrió que $$P_{V_{3+4i}}(v) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} x-yi\\y+xi \end{pmatrix}$$ (Por ahora sólo he hecho el cálculo para el primer eigespacio)

Entonces, ¿cómo puedo expresar esto como un polinomio en $T$ ?

Gracias.

Answer 1

Responderé a la pregunta en un contexto más general, porque una vez identificados los ingredientes importantes, la solución resulta casi obvia.

Fijar un espacio vectorial de dimensión finita $V$ y que $T \colon V \rightarrow V$ sea un operador diagonalizable con dos valores propios distintos $\lambda_1, \lambda_2$ . Escriba a $V_i = \ker(T - \lambda_i I)$ así que $V = V_1 \oplus V_2$ y denotamos por $P_i \colon V \rightarrow V$ la proyección de $V$ a $V_i$ con respecto a esta descomposición de suma directa. Así, cada vector $v \in V$ puede escribirse como $v = v_1 + v_2$ y $Tv_i = \lambda_i v_i$ y $Pv = v_i$ . ¿Cómo podemos expresar la $v_i$ utilizando $T$ ? Por ejemplo $v_1$ :

$$v = v_1 + v_2, Tv = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \implies Tv - \lambda_2 v = (\lambda_1 - \lambda_2) v_1 \implies \\ v_1 = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} (Tv - \lambda_2 v) = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} (T - \lambda_2 I)(v).$$

Así, si dejamos que $p_1(x) = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} (x - \lambda_2)$ obtenemos $P_1 = p_1(T)$ . Tenga en cuenta que $p_1$ es un polinomio lineal que satisface $p_1(\lambda_1) = 1$ y $p_1(\lambda_2) = 0$ (y esto determina $p_1$ únicamente). La observación importante aquí es que si $p$ es un polinomio y $v$ es un vector propio de $T$ correspondiente al valor propio $\lambda$ entonces $v$ es también un vector propio de $p(T)$ y $p(T)v = p(\lambda)v$ . Así, si queremos construir un polinomio $p$ tal que $p(T)$ actúa sobre $v = v_1 + v_2$ tirando el $v_2$ necesitamos un polinomio que satisfaga $p(\lambda_1) = 1$ y $p(\lambda_2) = 0$ . Hay muchos polinomios de este tipo, pero el que tiene el grado mínimo es el lineal que hemos encontrado explícitamente. Del mismo modo, si tomamos $p_2(x) = \frac{1}{\lambda_2 - \lambda_1}(x - \lambda_1)$ obtenemos $P_2 = p_2(T)$ . Esta idea se generaliza fácilmente a la situación $T$ tiene más de dos valores propios.

Si $V$ es un espacio de producto interno y el operador es ortogonalmente diagonalizable, la descomposición de la suma directa es ortogonal ( $V_1 \perp V_2$ ) y las proyecciones $P_i$ son proyecciones ortogonales.

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En tu caso, $\lambda_1 = 3 + 4i, \lambda_2 = 3 - 4i$ y así

$$p_1(x) = \frac{1}{3 + 4i - (3 - 4i)} (x - (3 - 4i)) = -\frac{i}{8} (x - (3 - 4i)) = \frac{1}{8} (4 + 3i - ix)$$

y de hecho

$$[p_1(T)]_B = p_1([T]_B) = \frac{1}{8} ((4 + 3i)I - i[T]_B) = \frac{1}{8} \left( \begin{pmatrix} 4 + 3i & 0 \\ 0 & 4 + 3i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3i & 4i \\ -4i & 3i \end{pmatrix} \right) = \\ \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 4 & -4i \\ 4i & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$

que es consistente con la proyección que obtuviste.

Answer 2

Nuestro objetivo es encontrar un polinomio $p_1(x),p_2(x)$ de forma que las proyecciones vienen dadas por $P_1 = p_1(T)$ y $P_2 = p_2(T)$ .

Para ello, escribamos estos operadores con respecto a la base propia, es decir $E = \{v_{3 + 4i},v_{3 - 4i}\}$ . Encontramos que $$[T]_E = \pmatrix{3 + 4i & 0\\0 & 3 - 4i}\\ [P_1]_E = \pmatrix{1&0\\0&0}\\ [P_2]_E = \pmatrix{0&0\\0&1}$$ Quizás puedas ver que basta, entonces, con encontrar polinomios con las siguientes propiedades: $$p_1(3 + 4i) = 1, \quad p_1(3 - 4i) = 0\\ p_2(3 + 4i) = 0, \quad p_2(3 - 4i) = 1$$ Como ejemplo, podemos tomar $$p_1(x) = \frac{x - [3 - 4i]}{[3 + 4i] - [3 - 4i]}, \quad p_2(x) = \overline{p_1(\bar x)}$$