Valor intermedio de la propiedad Justificación

Question

Estoy trabajando en demostrar que la Propiedad del Valor Intermedio se cumple para una determinada función. Me di cuenta de una página aquí habla de esta idea, pero no puedo seguir con lo que están tratando de decir. [El problema se publica a continuación - Ed.] . Cualquier orientación sería apreciada. Sólo estoy muy inseguro de lo que dice la propiedad.

Answer 1

Deberías probarlo para cualquier intervalo $[a,b]$ .

Para cualquier intervalo que no contenga $0$ , $f(x)$ es continua en ese intervalo y por lo tanto satisface IVP. Así que sólo hay que considerar el caso en que $a\leq 0 \leq b$ .

Pista: $f(x)$ oscila $\textbf{a lot}$ a medida que te acercas a cero desde cualquier lado.

Answer 2

Así que si crees en el teorema del valor intermedio, entonces sabes que si $x_1, x_2 > 0$ o $x_1, x_2 < 0$ , se cumple la propiedad Supongamos $x_1 \leq 0 < x_2$ . Basta con demostrar que existe $c \in (0, x_1)$ . Para ello, considere la secuencia $$(t_n)_{n \in \mathbb{n}} = \left( \frac{1}{ 2 \pi n + \arcsin (k) } \right)_{n \in \mathbb{N}} ,$$ a lo largo de la cual $f(t_n) = k$ . Sea $n = \lceil 2 \pi n / x_2 \rceil + 1$ . Entonces $t_n = \frac{1}{ 2 \pi n + \arcsin (k) } \leq \frac{1}{ 2 \pi (n - 1) } \leq x_2$ .