Cualquier subconjunto compacto $K$ de un complejo CW $X$ se encuentra con un número finito de celdas.

Question

Cualquier subconjunto compacto $K$ de un complejo CW $X$ se encuentra con un número finito de celdas.

La demostración del resultado anterior en la nota de clase que estoy siguiendo sigue el siguiente razonamiento $:$

Prueba $:$ Para cada celda $e_{\alpha}$ reunión $K,$ elija un punto $k_{\alpha} \in K \cap e_{\alpha}.$ Sea $S = \{k_{\alpha}\}_{\alpha \in I},$ donde $I$ es un conjunto de indexación formado por todos aquellos $\alpha$ para lo cual $K \cap e_{\alpha} \neq \varnothing.$ Sea $X^{(n)}$ denotan el $n$ -esqueleto de $X.$ Entonces claramente $S \cap X^{(0)}$ está cerrado en $X^{(0)}$ desde $X^{(0)}$ es un conjunto discreto. Suponiendo que $S \cap X^{n-1}$ está cerrado en $X^{(n-1)}.$ Ahora $S \cap X^{(n)}$ es la unión de $S \cap X^{(n-1)}$ y los puntos $k_{\alpha}$ situada en el interior del $n$ -células. Así que $S \cap X^{(n)}$ también está cerrado en $X^{(n)}$ ya que ambos conjuntos son cerrados en $X^{(n)}.$ Por inducción $S$ está cerrado en $X^{(n)}.$ Así que $S$ está cerrado en $X,$ desde $X$ está dotada de la topología débil.

Con un argumento similar podemos demostrar que cualquier subconjunto de $S$ también está cerrado en $X.$ Así $S$ es discreto y $S$ siendo un subconjunto cerrado de $K$ se deduce que $S$ es compacto. Así que $S$ tiene que ser finito, ya que es a la vez compacto y discreto.

Esto completa la prueba.

En la prueba anterior no entiendo la frase en negrita. ¿Alguien podría ayudarme a entenderla?

Gracias de antemano.

Answer 1

$X^{n-1} \cap S$ está cerrado en $X^{n-1}$ por hipótesis inductiva, por lo que es cerrado en $X^{n}$ ya que para cualquier mapa característico de un $n$ -célula, $\Phi$ , $\Phi^{-1}(X^{n-1} \cap S) = \phi^{-1}(X^{n-1} \cap S)$ donde $\phi = \Phi \restriction \partial D^n$ es el mapa de unión $\phi : \partial D^n \rightarrow X^{n-1}$ . Desde $\phi$ es continua $\phi^{-1}(X^{n-1} \cap S)$ es un subconjunto cerrado de $\partial D^n$ y, por tanto, un subconjunto cerrado de $D^n$ . Ahora el otro conjunto, es decir, el conjunto de puntos $k_{\alpha}$ contenida en $e^n_{\alpha} \cap S$ (es decir, exactamente una $k_{\alpha}$ para cada $e^n_{\alpha} \cap S \neq \emptyset$ ) tiene preimagen vacía por cualquier mapa característico de una celda de dimensión $< n$ o celda de dimensión $n$ con índice no igual a $\alpha$ y preimagen del singleton por cualquier mapa característico de una célula de dimensión $n$ con índice $\alpha$ y, por tanto, está cerrado en $X^n$ . La unión de ambos conjuntos es, por tanto, cerrada en $X^n$ .