Solución de la relación de recurrencia $a_{n}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}-a_{n-2}}$

Question

Quiero encontrar la forma analítica de la relación de recurrencia $$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}-a_{n-2}},\,a_{1}=2,\,a_{2}=1 $$ pero al mirar los resultados parecen caóticos. ¿Es posible que simplemente no tenga forma analítica?

Answer 1

Esta respuesta sólo da más detalles sobre mis comentarios. Defina $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\cup \{\phi\}$ por: $$ f(a,b) = \left\{ \begin{array}{ll} \left(b, \frac{b}{b-a}\right) &\mbox{ if $a \neq b$} \\ \phi & \mbox{ otherwise} \end{array} \right.$$ donde " $\phi$ " representa formalmente "indefinido". Es evidente que no hay puntos fijos $f(a,b)=(a,b)$ . Un punto $(a,b)$ inicia un periodo $k$ órbita si: $$ (a,b) = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ}_{\mbox{$ k $ times}} f (a,b) $$ Basta con buscar órbitas periódicas con $a\neq b$ .

periodo-2:

Buscar $(a,b) = f(f(a,b))$ equivalentemente: $$ (a,b) \overset{f}{\rightarrow} (b,c) \overset{f}{\rightarrow} (a,b) $$ Entonces: $(a,b)=f(f(a,b))=f(b, b/(b-a))= (b/(b-a),\frac{b/(b-a)}{b/(b-a)-b})$ . Así: \begin{align} a &= b/(b-a)\\ b &=\frac{b/(b-a)}{b/(b-a)-b} \end{align} Estas dos ecuaciones se reducen a $-a^2 = (1-a)^2$ . No existen soluciones reales para esta ecuación. Sin embargo, $a=(1/2)(1-i)$ y $a=(1/2)(1+i)$ son soluciones complejas. En $a_1=(1/2)(1-i)$ y $a_2=(1/2)(1+i)$ produce una órbita 2-periódica de valor complejo.

periodo 3:

Buscar $(a,b) = f(f(f(a,b)))$ equivalentemente: $$ (a,b) \rightarrow (b,c) \rightarrow (c,d) \rightarrow (a,b) $$ A continuación, las variables $a,b,c,d$ debe satisfacer: $$ c=\frac{b}{b-a} , d = \frac{c}{c-b}, a=d, b = \frac{d}{d-c} $$ No parece que haya soluciones reales.

periodo 4:

No parece que haya soluciones reales.

periodo 5:

Buscar $(a,b) = f(f(f(f(f(a,b)))))$ equivalentemente: $$ (a,b) \rightarrow (b,c) \rightarrow (c,d) \rightarrow (d, x) \rightarrow (x,f) \rightarrow (a,b) $$ Entonces $a,b,c,d,x,f$ satisfacer (donde utilizo " $x$ " en lugar de " $e$ " para evitar el significado cargado para $e = exp(1)$ al conectarse a wolfram): $$ c=\frac{b}{b-a} , d = \frac{c}{c-b} , x = \frac{d}{d-c} , f = \frac{x}{x-d} , a=f, b = \frac{f}{f-x} $$

Resolviendo numéricamente en wolfram encuentra 5 soluciones de valor real (todos los ciclos de la otra), uno es: \begin{align} a &\approx 0.39025856959944318578 \\ b &\approx 3.6493359517257782682 \\ c &\approx 1.1197451069249619854 \\ d &\approx -0.44265858616085099250 \\ x &\approx 0.28331895791066755308 \end{align}
Antes sugería utilizar $a_1=0.390259$ y $a_2=3.64934$ . La simulación de Steven Harding produjo lo que parece un órbita inestable de período 5 (con desviaciones debidas al error de truncamiento decimal finito). Utilizando $a_1=a$ y $a_2=b$ con los números más precisos de 20 dígitos anteriores probablemente producirá una trayectoria que se mantenga cerca de la órbita de periodo 5 durante más tiempo antes de desviarse.

Si tuviéramos una precisión decimal infinita, podríamos producir una órbita que se mantuviera siempre en periodo 5. Mi conjetura, basada en observaciones numéricas de la sensibilidad a las condiciones iniciales, y en la intuición obtenida del resultado "El periodo 3 implica caos" de Li y Yorke, es que se trata de un sistema caótico. [El resultado de Li y Yorke es válido para el período 3, no para el período 5, y para mapas del tipo $x_{k+1} = g(x_k)$ para $x_k \in \mathbb{R}$ en lugar de $x_k \in \mathbb{R}^2$ pero yo esperaría que el sistema aquí también fuera caótico].

Answer 2

Parece caótico He calculado y trazado los primeros 60 puntos de la solución.

Si hubiera una solución tendría que tener algunas tendencias periódicas pero parece caótico donde están estas tendencias y tiene picos impredecibles muy por encima del rango de una función normal de Sin o Cos.

Answer 3

Esto es en respuesta a su comentario: condiciones iniciales $a_1 = 0.390259$ y $a_2 = 3.64934$

Aquí está con precisión mejorada (con suficiente truncamiento de error), dada la respuesta proporcionada por Michael.