conjugación de elementos de grupo $GL_2(\mathbb{Z_p})$

Question

Para un primo $p$ consideremos el grupo $GL_2(\mathbb{Z_p})$ Entonces cada elemento de orden $p$ es conjugada a una matriz $$\begin{pmatrix} 1 &a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ donde $a\in \mathbb{Z_p}$

Mi planteamiento de solución-El grupo dado tiene orden $(p^2-p)(p^2-1)$ ,por lo tanto Por el teorema de Sylow tiene 1 o $p+1$ números de Sylow's - $p$ subgrupos de orden $p$ que es un subgrupo cíclico. Ahora sabemos por el segundo teorema de Sylow que todo Sylow - $p$ los subgrupos son conjugados entre sí. La matriz dada también tiene un orden $p$

$\begin{pmatrix} 1 &a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^p=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ por lo que esta matriz pertenecerá a algún sylow - $p$ por lo que cada elemento de orden $p$ es conjugada a esta matriz.

¿es correcto mi planteamiento de esta cuestión? (ESTA PREGUNTA YA SE HA HECHO, PERO TENGO CURIOSIDAD ACERCA DE MI ENFOQUE)

Thnakyou.

Answer 1

Un elemento de orden $p$ está contenido en un subgrupo de Sylow por lo que será conjugado a un elemento de un subgrupo de Sylow fijo, en este caso el subgrupo de matrices triangulares superiores con $1$ en la diagonal. Vale la pena señalar por lo que todos los elementos $\ne I$ de ese subgrupo son conjugadas.