Oscilador vertical con masa puntual

Question

Ok, esto es aparentemente un problema simple.

Consideremos una masa ligada a un oscilador vertical de constante k, en posición de equilibrio thr, y altura inicial H.

Al dejar que se mueva por su propio peso, se tiene el equilibrio $\sum F=0$ por lo que la fuerza elástica es igual a la fuerza de gravedad (equilibrio en la parte más baja ( $v=0$ )): $F=P\Rightarrow kH=mg\Rightarrow H=\frac{mg}{k}$ .

Bien, ahora resuélvelo a través de las energías.

Uno tiene energía inicial $mgH$ y energía final elástica $\frac{1}{2}kH^2$ . Y así equiparar a los que llegamos $H=\frac{2mg}{k}$ .

¿Por qué esos resultados son diferentes? Gracias

Answer 1

Cuando aplicas la ecuación de equilibrio, efectivamente has localizado la posición de equilibrio, que es $H = mg/k$ por debajo del punto de liberación, dado que el sistema no tenía energía elástica inicial. Cuando sueltes el sistema, al cabo de un tiempo la masa se detendrá finalmente en la posición de equilibrio. La duración de este tiempo depende de la amortiguación del sistema. Un amortiguamiento alto significa que el sistema se equilibra rápidamente.

Cuando se utiliza la conservación de la energía, hay que tener especial cuidado. En primer lugar, voy a utilizar $x$ en lugar de $H$ ya que aquí se miden dos cosas diferentes. Así que, inicialmente, fijando el punto de referencia GPE en $x$ por debajo de la altura inicial, la energía inicial del sistema es $mgx$ . Entonces, en el punto más bajo, toda la GPE se ha convertido efectivamente en energía potencial elástica, y obtenemos $x = 2mg/k = 2H$ . Ahora bien, es importante señalar que este punto correspondiente es el punto más bajo de vibración, y no es el mismo que el punto de equilibrio. Esto se debe a que, en este modelo, la velocidad en el punto de equilibrio no es cero.

Puede parecer contraintuitivo que la velocidad no sea cero en el punto de equilibrio, aunque al cabo de un tiempo el sistema debería acabar por detenerse en el punto de equilibrio. En un modelo simplificado, solemos suponer que la amortiguación es nula para no tener que tener en cuenta las pérdidas de energía mecánica en calor. Como resultado, el sistema modelizado vibrará eternamente con una amplitud de vibración constante. Los sistemas reales no lo hacen, pero esta simplificación nos permite aprovechar la conservación de la energía.

En realidad, la energía cinética se maximiza en el punto de equilibrio, y las regiones sin energía cinética corresponden a los puntos más alto y más bajo de vibración. El punto de equilibrio es, en realidad, el centro del movimiento vibratorio, y debería encontrarse justo entre los puntos de vibración más alto y más bajo. El punto más alto será el punto de liberación, y el punto más bajo se encuentra a una distancia de $x=2H$ por debajo del punto de liberación (esto es lo que hemos calculado con la conservación de la energía). Por lo tanto, el punto de equilibrio debe situarse entre ambos, es decir $H$ debajo del comunicado. Esto coincide con lo que calculamos utilizando el equilibrio.

Por lo tanto, lo que hay que tener en cuenta es que, cuando se utiliza la conservación de la energía y se ignora la amortiguación, no hay que suponer que la velocidad en el punto de equilibrio es cero.

Aquí hay un gráfico para mostrar cómo la posición de la masa varía con el tiempo, para los casos de amortiguación y sin amortiguación. (Puede que lo sustituya por gráficos más bonitos cuando vuelva a estar libre)

Answer 2

Cuando empiezas con un muelle sin estirar y lo extiendes en $H$ la energía almacenada en el muelle es $\frac 12 kH^2$ y el trabajo realizado por el campo gravitatorio es $mgH = kH^2$ ya que la condición de equilibrio estático es $mg-kH=0$ .

Para entender dónde está la energía "perdida" ( $\frac 12 kH^2$ ) se ha ido vuelva a sujetar la masa en el extremo del muelle no estirado y luego suelte la masa.
La masa acelerará hacia abajo y en la posición de equilibrio estático el campo gravitatorio habrá realizado un trabajo igual a $kH^2$ en el sistema masa-muelle, el muelle tiene una energía potencial elástica $\frac 12 kH^2$ y la masa tiene energía cinética $\frac 12 kH^2$ .
La masa sobrepasa la posición de equilibrio estático y finalmente se detiene cuando la extensión del muelle es $2H$ .
En esta posición el trabajo realizado por el campo gravitatorio es $mg2H = 2kH^2$ y la energía potencial elástica del muelle es también $ 2kH^2$ .
A continuación, la masa se desplaza hacia arriba y ejecuta un movimiento armónico en torno a la posición de equilibrio estático.
Con rozamiento, se trata de un movimiento armónico amortiguado y la masa acaba inmóvil en la posición de equilibrio.

Volviendo a la situación en la que sostienes la masa y haces que la masa se detenga en la posición de equilibrio estático, la energía "perdida" es igual al trabajo realizado sobre ti mientras detenías la masa en la posición de equilibrio estático.

Answer 3

Creo que el error es tu suposición de que la posición de equilibrio (donde $kx=mg$ es decir, la fuerza neta sobre la masa es nula) se encuentra en el punto más bajo donde $v=0$ . De hecho, si la masa cae una distancia total $H$ entonces la amplitud de oscilación es $\frac H2$ y la posición de equilibrio es $\frac H2$ por debajo del punto de liberación o por encima del punto más bajo. $v$ no es cero en el punto de equilibrio, sólo en los puntos más alto y más bajo. Así que $\frac {kH}2=mg$ de ahí $\frac 12 kH^2=mgH$ . En $PE$ perdido desde el punto más alto al más bajo es $mgH$ la energía almacenada en el muelle en el punto más bajo es $\frac 12 kH^2=mgH$ que es exactamente lo mismo.