Norma del operador lineal.

Question

Sea $T$ sea un operador lineal invertible sobre $\mathbb{R}^2$ . ¿Es cierto que si $T$ tiene determinante $\pm 1$ entonces $T$ y $T^{-1}$ tienen la misma norma (el operador norma habitual)?

Answer 1

Si utiliza la norma habitual en $\mathbb{R}^2$ entonces $\|A\|=\|A^T\|$ donde $A^T$ denotan la transposición de $A$ .

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Edita: Supongamos que $\|A\|\ne0$ . Para cualquier $v\in\mathbb{R}^2$ , $\|v\|=1$ tenemos $$\|Av\|^2=\langle Av,Av\rangle = \langle v,A^TAv\rangle\le\|v\|\|A^TAv\|\le\|A^TA\|\le\|A^T\|\|A\|$$ Así que.., $\|A\|^2\le\|A^T\|\|A\|$ y por lo tanto, $\|A\|\le\|A^T\|$ . Análogamente, $\|A^T\|\le\|A\|$ Así que $\|A\|=\|A^T\|$ .

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Si $A=\pmatrix{a&b\\c&d}$ y $\det A=\pm1$ entonces $A^{-1}=\pm\pmatrix{d&-b\\-c&a}$ . Sea $B=(A^{-1})^T$ . Si $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ entonces $\|A(x_1,x_2)\|=\|B(x_2,-x_1)\|$ . A partir de esto, tenemos $\|A\|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|Bx\|=\|B\|=\|A^{-1}\|$ .

Edita: Sea $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ . Entonces $\|A(x_1,x_2)\|=\|(ax_1+bx_2,cx_1+dx_2)\|=(dx_2+cx_1,-bx_2-ax_1)=\|B(x_2,-x_1)\|$ por lo que para cada $x\in\mathbb{R}^2$ , $\|x\|=1$ encontramos $y\in\mathbb{R}^2,\|y\|=1,$ tal que $\|Ax\|=\|By\|$ entonces $\|A\|\le\|B\|$ . Análogamente tenemos $\|B\|\le\|A\|$ y, por tanto $\|A\|=\|B\|$ .

Answer 2

Si se define la norma de la matriz como norma espectral o norma 2, que es el mayor valor singular $\mu$ entonces $T$ y $T^{-1}$ tienen la misma norma si $|det(T)|=1$ porque los valores singulares de la $T^{-1}$ no es más que la inversa de los valores singulares del $T$ y $|det(T)|=\mu_1 \mu_2 = 1$ Así que $T$ y $T^{-1}$ tienen la misma norma $|\mu|$ .