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hallar el número de funciones tales que f:[0,1][0,1] satisfaciendo |f(x) – f(y)|= |x – y| para todos (x, y) en [0,1] .

El número de funciones f : [0,1]\to [0,1] satisfaciendo |f(x) – f(y)|= |x – y| para todos (x, y) en [0,1] ¿lo es?

\frac {|f(x) – f(y)|}{|x – y|}= 1

¿Cómo solucionarlo?

8voto

Virtuoz Puntos 510

Considere |f(1) - f(0)| = 1-0 = 1. Desde f mapas [0,1] a [0,1] sólo tenemos dos casos. O bien f(1) = 1, f(0) = 0 o f(1)= 0, f(0) =1 .

Consideremos el primer caso f(1) = 1, f(0) = 0 . Entonces f(x) = |f(x) - f(0)| = |x - 0| = x.

Consideremos el segundo caso f(1) = 0, f(0) = 1 . Entonces f(x) = |f(x) - f(1)| = |x - 1| = 1 - x.

Así que, finalmente, sólo tenemos dos funciones: x y 1-x .

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