hallar el número de funciones tales que $f : [0,1]\to [0,1]$ satisfaciendo $|f(x) – f(y)|= |x – y|$ para todos $(x, y)$ en $[0,1]$ .

Question

El número de funciones $f : [0,1]\to [0,1]$ satisfaciendo $|f(x) – f(y)|= |x – y|$ para todos $(x, y)$ en $[0,1]$ ¿lo es?

$\frac {|f(x) – f(y)|}{|x – y|}= 1$

¿Cómo solucionarlo?

Answer 1

Considere $$|f(1) - f(0)| = 1-0 = 1.$$ Desde $f$ mapas $[0,1]$ a $[0,1]$ sólo tenemos dos casos. O bien $f(1) = 1, f(0) = 0$ o $f(1)= 0, f(0) =1$ .

Consideremos el primer caso $f(1) = 1, f(0) = 0$ . Entonces $$f(x) = |f(x) - f(0)| = |x - 0| = x.$$

Consideremos el segundo caso $f(1) = 0, f(0) = 1$ . Entonces $$f(x) = |f(x) - f(1)| = |x - 1| = 1 - x.$$

Así que, finalmente, sólo tenemos dos funciones: $x$ y $1-x$ .