¿Absolutamente continuo implica Lipschitz en subconjuntos compactos?

Question

Sea $f$ sea absolutamente continua en $[a,b]$ entonces es Lipschitz en todos los subconjuntos compactos de $(a,b)$ ?

---

No puedo demostrarlo ni refutarlo.

Mi intento de refutación: El ejemplo favorito $f(x)=\sqrt x$ en $[0,1]$ no parece funcionar aquí, ya que es Lipschitz en subconjuntos compactos de $(0,1)$ . (derivadas acotadas en subconjunto compacto)

Mi intento de probar: \begin{align*} |f(y)-f(x)|&=\left|\int_x^y f'(t)\,dt\right|\\ &\leq\int_x^y |f'(t)|\,dt \end{align*}

No puedo proceder ya que $f'$ no está necesariamente acotada.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pista: $\sqrt{x}$ funcionará, pero considérelo en un intervalo mayor que $(0,1)$ .

Edita: Por lo tanto, consideramos $$f(x)=\left\{\begin{array}{c l} 0, &-1\leq x\leq 0 \\ \sqrt{x}, & 0<x\leq 2\end{array}\right..$$ Entonces $f$ es diferenciable en $(-1,2)\setminus\{0\}$ con $$f'(x)=\left\{\begin{array}{c l} 0, &-1<x<0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}}, & 0<x<2\end{array}\right.,$$ que se encuentra en $L^1\left([-1,2]\right)$ y $$f(x)=f(-1)+\int_{-1}^xf'(t)\,dt$$ para todos $x\in[-1,2]$ . Por lo tanto $f$ es absolutamente continua en $[-1,2]$ . Sin embargo, $f$ no es Lipschitz en $[0,1]$ : si lo fuera, entonces, para algunos $M>0$ y todos $x\in[0,1]$ , $$\sqrt{x}=|f(x)-f(0)|\leq M|x-0|=Mx\Rightarrow M\sqrt{x}\geq 1,$$ lo cual es una contradicción.