Demostrar $_4F_3(1/8,3/8,5/8,7/8;1/4,1/2,3/4;1/2)=\frac{\sqrt{2-\sqrt2+\sqrt{2-\sqrt2}}+\sqrt{2+\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2\,\sqrt2}$

Question

¿Cómo puedo probar $$_4F_3\left(\frac18,\frac38,\frac58,\frac78;\ \frac14,\frac12,\frac34;\ \frac12\right)\stackrel?=\frac{\sqrt{2-\sqrt2+\sqrt{2-\sqrt2\phantom{|}}}+\sqrt{2+\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt2\phantom{|}}}}{2\,\sqrt2}$$

---

Me encontré con esta conjetura cuando se trabaja con transformadas de Fourier de Kelvin funciones.

Answer 1

$\def\divides{\setminus}$Interesantes. En primer lugar, escriba la función hipergeométrica como el siguiente suma (con $z=\frac12$), el uso de Gauss teorema de la multiplicación y simplificando: $$ F(z) = \sum_{n\geq0} \frac{\Gamma(\frac12+4n)z^n}{\sqrt\pi\Gamma(1+4n)}. $$

Definir la función de $f$ como la misma cosa, pero con $n$ en lugar de $4n$: $$ f(z) = \sum_{n\geq0} \frac{\Gamma(\frac12+n)z^n}{\sqrt\pi\Gamma(1+n)} = \frac{1}{\sqrt{1-z}}, $$ y utilice el hecho de que al $\zeta=e^{2\pi i/4}=i$, $$\frac14\sum_{j=0}^3 \zeta^{jn} = [4\divides n], $$ para escribir $$F(z) = \frac14\sum_{j=0}^3 f(z^{1/4}\zeta). $$ En otras palabras, si $t_nz^n$ $n$- plazo de una suma, entonces $$ \frac14\sum_{j=0}^3 t_n (z\zeta)^n = t_nz^n[4\divides n]. $$

El de arriba te da una forma cerrada para $F$. Sustituyendo $z=\frac12$, nos encontramos con que $$ F = \frac14\left(\frac1{\sqrt{1-2^{-1/4}}} + \frac1{\sqrt{1-i 2^{-1/4}}} + \frac1{\sqrt{1+i2^{-1/4}}} + \frac1{\sqrt{1+2^{-1/4}}} \right). $$ Este (algebraica) de los números tiene el mismo 16 grados de mínima polinomio como el número que te dio, y que son numéricamente iguales, de modo que sean iguales. (También puede hacer esto a mano, no es terriblemente duro).

Answer 2

Algunos relacionados con la conjetura valores dados por los radicales: $$\begin{align} {_4F_3}\left(\begin{array}c\tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78\\\tfrac14,\tfrac12,\tfrac34\end{array}\medio|\,\frac59\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{4}\sqrt{9+\sqrt{30}+2\sqrt{15+3\sqrt{30}}}\\ {_4F_3}\left(\begin{array}c\tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78\\\tfrac14,\tfrac12,\tfrac34\end{array}\medio|\,\frac34\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\sqrt{4+\sqrt{3}+\sqrt{6+4\sqrt{3}}}\\ {_4F_3}\left(\begin{array}c\tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78\\\tfrac14,\tfrac12,\tfrac34\end{array}\medio|\,\frac89\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\sqrt{9+\sqrt{6}+\sqrt{12+6\sqrt{6}}}\\ {_4F_3}\left(\begin{array}c\tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78\\\tfrac14,\tfrac12,\tfrac34\end{array}\medio|\,9\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{2}-i\sqrt{2}+\sqrt{-6-6i\sqrt{2}}} \end{align} $$ Parece que, en general, para cualquier $z$ racional de los valores de la solución en la forma de $\sqrt{x}$ donde $x$ es una raíz de una $8$th-grado del polinomio con coeficientes enteros.