Supongamos que $y(t)=\frac{1}{a}\ln(a)+\frac{1}{a}\ln(t+C)$ donde $a>0$ es una constante. Entonces, en particular $y(t)\to\infty$ como $t\to\infty$ . Quiero mostrar la $$ x'(t)=e^{-ax(t)}-e^{-a y(t)}, $$ esto implica (1) $x(t)\to\infty$ como $t\to\infty$ y (2) existe algún $s>0$ tal que $x(t)<y(t)$ para todos $t>s$ .
Mi argumento a favor de (1) es el siguiente.
Supongamos por contradicción que $\lim_{t\to\infty}x(t)=X\in\mathbb{R}$ es decir, que $x$ converge. Entonces, como por suposición $\lim_{t\to\infty}e^{-ay(t)}=0$ existe alguna $T>0$ tal que $$ x'(t)>0~\forall t>T. $$ Pero esto contradice la convergencia de $x$ . Por lo tanto, $x(t)\to\infty$ como $t\to\infty$ .
Para (2) mi idea es de nuevo utilizar la contradicción:
Supongamos que $x(t)\geqslant y(t)$ entonces $x'(t)\leqslant 0$ desde $e^{-a x(t)}\leqslant e^{-a y(t)}$ . No sé si esto puede dar una contradicción.
O tal vez desde $x(t)<y(t)$ es equivalente a $x'(t)>0$ es mejor demostrar directamente que $x'(t)>0$ .
