¿Cómo es posible evaluar la siguiente integral: $$ \int_0^{2\pi}\frac{1}{|1-ae^{-it}|^2}dt $$ con $|a| < 1$ . La respuesta debería ser algo como $\frac{1}{1-|a|^2}$ .
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$$\frac1{|1-ae^{-it}|^ 2} = \frac1{(1-ae^{-it})(1-\bar ae^{it})} = \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{m=0}^\infty a^n\bar a^m e^{(m-n)it}$$ Desde $|a| < 1$ podemos invertir la suma y la integral $$\int_0^{2\pi} \frac1{|1-ae^{-it}|^ 2} \mathrm dt = \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{m=0}^\infty a^n\bar a^m \underbrace{\int_{0}^{2\pi} e^{i(m-n)t}\mathrm dt}_{\left\{\begin{array}{cc}0 & \text{if $n\neq m$} \\ 2\pi & \text{if $n=m$}\end{array}\right.} = \sum_{n=0}^{\infty} 2\pi (a\bar a)^n = \frac{2\pi}{1-|a|^2}$$
user299698
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Pista. Tenemos que $e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)$ y $$I=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{|1-ae^{-it}|^2}=2\int_0^{\pi}\frac{dt}{1+a^2-2a\cos(t)}$$ Ahora dejemos que $s = \tan(t/2)$ . Entonces $$\cos(t) = \frac{1-s^2}{1+s^2}\quad,\quad dt=\frac{2 ds}{1+s^2}$$ y te queda integrar una función racional, $$I=4\int_0^{+\infty}\frac{ds}{(1-a)^2+(1+a)^2s^2}.$$
También puede echar un vistazo aquí: ¿Cómo se integra $\int \frac{1}{a + \cos x} dx$ ?
user153126
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Tenga en cuenta que $e^{it}$ para $t\in[0,2\pi]$ parametriza un círculo unitario trazado en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $0$ por lo que con la sustitución $z = e^{it}$ y $dz = ie^{it}\,dt = iz\,dt$ , \begin{align}\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{|1-ae^{-it}|^2} = \oint_C \frac{dz \,/ (iz)}{|1-a\overline{z}|^2} &= \frac{1}{i} \oint_C \frac{dz}{z(1-a\overline{z})\overline{(1-a\overline{z})}}\\ &= \frac{1}{i} \oint_C \frac{1}{z-a} \underbrace{\frac{1}{1-\overline{a} z}}_{\equiv \;f(z)}\;dz\\ &\overset{(*)}{=} \frac{1}{i} 2\pi i \; f(a) = \frac{2\pi}{1-|a|^2} \end{align}
donde $(*)$ es Fórmula integral de Cauchy que es válido como $f$ es holomorfa, porque $|\overline{a}z| = |a||z| < (1)(1) = 1$ así que $|1-\overline{a}z| \neq 0$ en el disco.
