Esta es la fórmula correcta $\eta=\exp(1/e)$ y $\alpha(x)$ es la función de Abel de punto fijo de repulsión superior para iterar $x \mapsto \exp(x)-1$ que se genera utilizando la solución fps de Ecalle. Para más detalles, véanse los posts de Will Jagy en $\alpha(x)$ : Cómo obtener $f(x)$ si se sabe que $f(f(x))=x^2+x$ ?
$$\lim\limits_{n\to\infty} \text{sexp}_{(\eta+1/n)}\left[\pi\sqrt{\frac{2\eta\cdot n}{e}} -2\right] \approx 388.7874$$ Obtuve el valor límite anterior numéricamente, y luego usé ese resultado para generar una ecuación corregida para la pregunta del Op. $$\lim\limits_{n\to\infty} \text{sexp}_{(\eta+1/n)}\left[\pi\sqrt{\frac{2\eta\cdot n}{e}} + \alpha(\frac{n}{e}-1) + C\right] -n = 0$$ $$C \approx -2 - \alpha(\frac{388.7874}{e}-1)$$
Estaba a punto de publicar una pregunta estrechamente relacionada sobre Pi en el conjunto de Mandelbrot; se tarda aproximadamente $\pi \sqrt{n}$ iteraciones para escapar cerca de la cúspide parabólica en c=0.25+1/n. Entonces encontré este artículo sobre la ocurrencia de Pi en el conjunto de Mandelbrot; aunque no he terminado de leer su artículo, pero presumiblemente los mismos mecanismos de ecuaciones diferenciales lineales se pueden utilizar para justificar el resultado, que se necesita $\pi \sqrt{2n}$ iteraciones para "escapar" de la iteración $x \mapsto \exp(x)-1+\frac1n$ donde empezamos en $x=-1+\frac1n$ . Ambas iteraciones implican perturbaciones de $\frac1n$ cerca de un punto fijo parabólico.
http://www.doc.ic.ac.uk/~jb/teaching/jmc/pi-en-mandelbrot.pdf https://people.math.osu.edu/edgar.2/piand.html
Es más sencillo y matemáticamente equivalente trabajar con iteraciones $f(x)=\exp(x)-1+\frac1n$ . Usando los métodos del artículo, entonces uno querría probar que se necesita $\pi\sqrt{2n}$ iteraciones, para que la función comience a crecer, donde el crecimiento se definiría como $f^{\circ \pi\sqrt{2n}}>2$ ; después de eso el crecimiento es superexponencial.
n para iterar $f(x)=\exp(x)-1+\frac1n$ es equivalente a $n=\ln(\ln(\eta+1/m))+1\approx \frac{e}{\eta\cdot m} + \frac{\mathcal{O}}{m^2}$ para iterar $g(x) =(\eta+1/m)^x$ Entonces hay una simple conversión lineal $f^{\circ k} = \frac{g^{\circ k}}{e}-1$ Por eso he utilizado $\alpha(\frac{n}{e}-1)$ en mi ecuación de solución corregida para la pregunta del Op.
