Pushforward y pullback.

Question

A menudo digo "pushforward" o "pullback", pero no sé exactamente significado exacto de estas palabras.

Cada vez que veo un mapa $f\colon X \to Y$ Además:

1. Tengo algún objeto $O_X$ asociado a $X$ (digamos medida o subconjunto);

2. el mapa $f$ me da una forma natural de encontrar objeto correspondiente $O_Y$ asociado a $Y$ .

Entonces digo " $O_Y$ es un pushforward de $O_X$ " y escribo $O_Y=f_*O_X$ .

Si cambio $X$ y $Y$ en (1) y (2), digo " $O_X$ es el pullback de $O_Y$ " y escribo $O_X=f^*O_Y$ .

Hago esto todo el tiempo, y nadie se queja, pero no siento que está bien...

¿Podría alguien explicar la forma correcta de pensar sobre "pushforward" y "pullback"?

Answer 1

Lo hago todo el tiempo y nadie se queja, pero no me parece correcto...

Creo que parte del problema es que la palabra "pullback" tiene dos significados distintos, que sin embargo están relacionados.

I) Retroceso cuyo opuesto es pushout en lugar de empujar hacia delante. Esto va bajo el título límites directos/inversos en categorías (abstractas).

II) "Pullback" cuyo opuesto es "pushforward". Como mencionan David Roberts y David Carchedi, la teoría de categorías las conoce bajo el disfraz de Grothendieck fibraciones y opfibraciones pero, según tengo entendido, no especifica cómo construirlos. Esta parece ser otra parte del problema.

Mi impresión es que existen al menos dos construcciones bastante generales.

1. Estructuras iniciales/finales (como en Bourbaki). Por ejemplo, topología de cocientes y topología de subconjuntos. Cuando existen estructuras iniciales/finales, se construyen explícitamente (véase, por ejemplo, 10.43 en La alegría de los gatos ), aunque no necesariamente con eficacia. Hay toda una filosofía/maquinaria en torno a esto: las categorías concretas.

2. Los tres ejemplos siguientes (uno covariante y dos contravariantes) parecen relacionados, y No sé qué opina la teoría de categorías sobre esta relación.

a) La imagen inversa de una gavilla es una especie de pullback (en el sentido de (I)), y la imagen directa de una gavilla viene dada por la composición (sin pushouts implicados, por cierto).

b,c) Mapas inducidos y transferencias en homología y cohomología. El punto de vista algebraico estándar es que el "pullback" (es decir, el mapa inducido) $f^*$ no es más que el functor de homología $h(f)$ aplicado al mapa (es decir, algo que debe explicarse mediante axiomas); y "pushforward" es algo extravagante que implica integración o dualidad de Poincare (es decir, algo que es mejor no explicar en absoluto). Lo mismo ocurre (pero al revés) con la homología.

También existe una visión geométrica secreta, que los libros de texto comunes nunca revelan. Aquí el "pullback" tanto en homología como en cohomología viene dado por el pullback categorético ((I) anterior) mientras que el "pushforward" tanto en homología como en cohomología viene dado por la composición. El "pullback" en homología y el "pushforward" en cohomología sólo se definen para una clase restringida de mapas (a saber, los mapas que representan a su vez clases de cohomología). Aún así, son tan naturales como los mapas inducidos, pero con respecto a un conjunto diferente de datos; así que cuando se trata de componer un "pullback" con un "pushforward" (lo que equivale a un producto taza o tapa), hay que aplicar la transversalidad, lo que rompe la naturalidad geométrica. (Con una alusión a los cuadrados de Steenrod. Por supuesto, nunca nada rompe la naturalidad a nivel algebraico). De nuevo, hay toda una filosofía/maquinaria al respecto, desarrollada en Buoncristiano-Rourke-Sanderson, Un enfoque geométrico de la teoría homológica (a partir del capítulo 2). El capítulo 1 del libro de Fenn contiene un calentamiento elemental con imágenes. Técnicas de topología geométrica y otro calentamiento elemental en El reciente libro de Kreck ; pero para ver con claridad la imagen anterior es mejor leer B-R-S. Un breve resumen en la sección 2 aquí .

Answer 2

Me gustaría sugerir una manera muy simple de pensar acerca de estos: usted tiene algunos objetos en ambos $X$ y $Y$ y quieres relacionarlos, pero para eso tendrían que residir en el mismo espacio. Así que quieres "moverlos volver y adelante (alias adelante ). Los functores $f^*$ y $f_*$ hacer exactamente esto.

Puede ser razonable imaginarse a uno mismo como parte de la acción y anclarse a la fuente del mapa, es decir, $X$ . Desde ese punto de vista mover algo de $X$ a $Y$ requeriría empujar mientras que lo contrario requeriría tirar.

Answer 3

Como muchos términos matemáticos, las palabras "pushforward" y "pullback" no tienen necesariamente definiciones universales únicas y rigurosas. O al menos yo no sé si las tienen. Sus definiciones informales son exactamente como las describes. Pero en cada situación particular, tienes que averiguar si tienen una definición adecuada o no.

Me limitaré a poner algunos ejemplos (a pesar de que usted quiera más). En primer lugar, si tienes dos espacios vectoriales $X$ y $Y$ y un mapa lineal $f: X \rightarrow Y$ entonces es razonable (aunque no habitual) llamar a $f(x)$ el "pushforward" de $x \in X$ . Además, $f$ induce naturalmente el mapa adjunto $ f^* : Y^* \rightarrow X^* $ y es natural llamar $ f^* (\eta) $ el "retroceso" de $\eta \in Y^*$ . Me gustaría no llame a $f^{-1}(y)$ el "retroceso" de $y \in Y$ porque es un conjunto y no un vector. La idea, creo, es que pushforward y pullback deberían ser functoriales en algún sentido, de modo que deberían mapear un objeto (aquí un vector) a otro objeto del mismo tipo (y no un conjunto de objetos) pero en el otro espacio nombrado en el mapa.

Esto se generaliza de forma natural a los haces vectoriales lisos. Si tenemos un haz vectorial $X$ sobre un múltiple $M$ otro haz vectorial $Y$ en $N$ y un mapa de paquetes $f: X \rightarrow Y$ entonces todo lo anterior se generaliza naturalmente a los elementos del haz.

También se puede definir el pullback de un paquete en sí. En otras palabras, en lugar de ver los elementos de un conjunto vectorial como objetos, ver los propios conjuntos vectoriales como objetos. Dado un mapa $f: M \rightarrow N$ y un haz vectorial $Y$ en $N$ entonces existe una noción natural de pullback de $Y$ como un haz vectorial $f^*Y$ en $M$ . Pero hay no noción de pushforward, porque si $f$ no es un difeomorfismo, no tendrás la unicidad y suavidad necesarias para definir el pushforward como un haz vectorial. Por supuesto, si $f$ es un difeomorfismo, se puede hacer trampa y definir el pushforward como el pullback del mapa inverso.

Del mismo modo, dada una sección $s$ del haz $Y$ puedes recuperarlo a través del mapa $f$ para definir una sección (lisa) $f^*s = s\circ f$ de $f^*Y$ . Pero en la categoría suave hay manera de empujar hacia adelante una sección suave.

Todo cambia cuando se pasa de los haces a las gavillas y de los objetos lisos a los holomorfos o algebraicos, porque las singularidades se vuelven mucho más manejables. Así que los pushforward pasan a estar bien definidos donde no lo estaban en la categoría de lisos. Pero como no soy un experto en estas cosas, prefiero dejar los detalles a otro.

Answer 4

Creo que, en general, la palabra "pullback" se asocia a (algunos) functores contravariantes, y "pushforward" se asocia a (algunos) functores covariantes.

Para ser más específicos, consideremos el ejemplo de la medida Existe un endfunctor $M$ de la categoría $Set$ que asigna un conjunto $X$ al conjunto $M(X)$ de todas las medidas sobre $X$ y una función $f:X\to Y$ a una función $M(f)=f_*:M(X)\to M(Y)$ definida de forma que $f_*(\mu)$ es una medida sobre $Y$ dado por $f_*(\mu)(U)=\mu(f^{-1}(U))$ para todos $U\subseteq Y$ para el que se define el lado derecho. Dado que $M$ es un functor covariante, podríamos llamar a $M(f)(\mu)=f_*(\mu)$ un pushforward de una medida $\mu$ en $X$ .

Como ejemplo de pullback, consideremos el pullback de la cohomología. Existe el funtor $H^*$ de la categoría $Top$ de espacios topológicos a $Set$ que mapea un espacio topológico $X$ al conjunto (de hecho, un anillo graduado) $H^*(X)$ de clases de cohomología de $X$ y una función continua $f:X\to Y$ a la función (de hecho, un homomorfismo de anillos graduales) $H^*(f)=f^*:H^*(Y)\to H^*(X)$ sobre clases de cohomología. Dado que $H^*$ es un functor contravariante, podemos llamar a $H^*(f)(\sigma)=f^*(\sigma)$ un pullback de una clase cohomológica $\sigma$ en $Y$ .

Answer 5

Uno de los fundamentos de la terminología pullback es, lo que su "estructura adicional" sobre $Y$ es un haz vectorial, o más generalmente, un haz de fibras, $V \to Y$ entonces el espacio total de $f^*V$ junto con su proyección, se sitúan en un cuadrado de pullback (en el sentido de categoría) con $X \to Y$ en la parte inferior y $f^*V \to V$ en la parte superior. Si su "extraestuctura" no puede pensarse como un tener un objeto subyacente y un mapa hasta $X$ entonces lo que más te conviene es lo que dice David Robert $f^*V$ Si te interesa la teoría de categorías que hay detrás de esto, busca las fibraciones de Grothendeick. La idea es que, si la categoría de tales objetos sobre $X$ , digamos $C_X$ (por ejemplo $C_X$ = haces vectoriales sobre $X$ ) dependen de forma contravariante de $X$ se pueden extraer objetos de $C_Y$ a los de $C_X$ mediante una elevación cartesiana. Si, por el contrario, la dependencia es covariante, puede utilizar una elevación opcartesiana para empujar hacia adelante objetos de $C_X$ a $C_Y$ . Si la dependencia va en ambos sentidos, entonces podemos hacer las dos cosas. Si de verdad quieres entender esto, intenta resolverlo con algunos ejemplos que conozcas y comprueba que "escupe" lo que esperas.

Vale la pena señalar, que el uso de ascensores no es estrictamente necesario, dependiendo de cómo se le dan sus datos. Esencialmente, hay dos maneras diferentes de ver los (pseudo)functores de una categoría a la categoría de categorías (p.ej. $VectBun:X \mapsto VectBun(X)$ )- una es como functores reales, y la otra como categorías fibradas. La primera forma deja claro cuáles son los mapas inducidos, mientras que para las fibrados hay que usar ascensores, pero en este caso los ascensores se parecen al pullback en el caso de los haces vectoriales, así que no es una mala forma de verlo.