Sé que la respuesta a esta pregunta es $2^n-2$ pero no estoy seguro de cómo se obtiene esta respuesta. ¿Podría alguien explicarme cómo se obtiene la respuesta paso a paso? Además, ¿cuántas formas habría de ordenar 3,4 ó 5 dígitos en un número de n dígitos? Gracias.
Respuestas
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turkeyhundt
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Arthur
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Supongamos que tenemos $n$ dígitos, donde $n$ es un número entero positivo fijo y $a$ y $b$ son los dos dígitos elegidos para formar el $n$ número de dígitos. Ahora, en primer lugar, para hacer un arreglo, usted tendría que elegir cuántos de cada $a$ y cuántos $b$ 's tendría su número y observe que la suma del número de $a$ y $b$ 's es $n$ . Por lo tanto, dado un $k$ donde $k$ es el número de $a$ 's, el número de arrengamientos posibles con $k$ $a$ y $n-k$ $b$ sería $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Sin embargo, debemos elegir al menos una $a$ y al menos una $b$ así que $1\le k\le n-1$ Por esta razón, el número total de possibiliteis sería la suma de $k=1$ a $k=n-1$ . Si se observa, se trata de la suma de los términos del $n^{th}$ del triángulo de Pascal (que es igual a $2^n$ ) excepto los términos con $k=0$ y $k=n$ que son ambos 1, así que tienes que restar 2
Brian Tung
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Para simplificar las cosas, supongamos por el momento que ninguno de los dígitos es $0$ : Vamos a fingir que un dígito es $1$ y la otra cifra es $2$ .
Escribe $n$ espacios en blanco, uno para cada lugar. Podemos escribir un $1$ o un $2$ en primer lugar, un $1$ o un $2$ en segundo lugar, un $1$ o un $2$ en tercer lugar, y así sucesivamente, para cada uno de los $n$ lugares.
El número de formas de rellenar esos espacios en blanco es $2$ (para la primera opción de $1$ o $2$ ), tiempos $2$ (para la segunda opción de $1$ o $2$ ), tiempos $2$ (para la tercera opción de $1$ o $2$ ), etc., para $n$ opciones en total. Es decir $n$ factores de $2$ o $2^n$ en total.
De este recuento hay que restar dos números: el formado por todos los $1$ y la formada por todos los $2$ 's. Así, el recuento final es $2^n-2$ .
Esto funciona para $0$ también, siempre que dirija $0$ (por ejemplo, permitimos el número $00220$ para $n = 5$ ). Si $0$ no están permitidos, entonces el recuento es $2^n-n-1$ (si los números son inferiores a $n$ dígitos) o $2^{n-1}-1$ (si los números deben ser exactamente $n$ dígitos largos), por razones en las que puedo profundizar si te interesa.
K. Miller
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Si el número debe contener ambas cifras, el número de formas es
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right) = 2^n - 2 $$
Supongamos que las dos cifras son $a$ y $b$ , $a\neq b$ . Entonces el número de maneras de elegir $k$ de los dígitos sea igual a $a$ es
$$ \left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right) $$
Todos los dígitos restantes son $b$ por lo que no hay elección que hacer por ellos. Ahora usted simplemente resume todas las posibilidades $(k = 1,\ldots,n-1)$ ignorando los casos $k = 0,n$ en el que el número sólo contendría una cifra.
