Puede $\mathbb C P^4$ ser fácilmente incorporado en $\mathbb R^{12}$?

Question

En Bott y de Tu Formas Diferenciales en Topología Algebraica, los autores muestran el uso de Pontrjagin clases que $\mathbb CP^4$ no puede ser fácilmente incorporado en $\mathbb R^k$ al $k\le 11$. La pregunta obvia que surge es: puede $\mathbb CP^4$ ser incrustado en $\mathbb R^{12}$?

El único resultado que conozco en este sentido es en el Whitney de incrustación teorema, que dice que una suave $m$-dimensiones del colector puede ser incrustado en $\mathbb R^{2m}$. Que está claro que no es lo suficientemente bueno aquí, como $\mathbb CP^4$ tiene dimensión $8$.

Answer 1

No, véase el teorema 1.3 aquí http://www.lehigh.edu/~dmd1/CPcrabb4.pdf, y la referencia que allí se indican. Aquí $\alpha (n)$ indica el número de $1$'s en la expresión binaria de $n$.

En este caso, $4$ ha binario de expansión $100$, por lo que el primer caso del teorema 1.3 implica $\Bbb CP^4$ no puede incluso sumergirse en $\Bbb R^{14}$. El Whitney de inmersión teorema implica que esta es la óptima. De hecho, cualquier compacta orientable $n$-colector incrusta en $\Bbb R^{2n-1}$ (de acuerdo a la wikipedia, esto es debido a Haefliger y Hirsch (por $n>4$), pero no sé las referencias específicas a mano).